Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гальцов Д.В. -> "Частицы и поля в окрестности черных дыр" -> 38

Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.

Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр — М.: МГУ, 1986. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): chasticiipolyavokresnostichernih1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 100 >> Следующая


Jlv. = Xn + Vti/. (82)

где

J = -^-JSo-Vr1SoP-IB, (83)

причем, очевидно, Л0 — Лл\ Jlz=Jtz (-iS совпадает с потенциалом Дебая Sin, введенным в § 5).

Компоненты комплексного 4-потенциала, отвечающего кулонов-скому потенциалу Дебая (79), равны

, qn — iapi § 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ

115

о^ф=- — ^0 aSin2 6 + -^(^0 + 1/7^+(^0-Iap1) t COS 6). (85)

Как видно из (84), постоянная q\ определяет значение нулевой компоненты потенциала при г-»-оо. Чтобы сделать его равным нулю, достаточно положить <7i = 0. Чтобы избежать возрастания при г—>-оо, целесообразно выбрать также р\ = 0. Наконец, постоянная ро не входит ни в выражение (76) для Фь ни в формулы для 4-потенциала, поэтому можем положить ро = 0. Окончательно с учетом равенства (77) найдем кулоновский потенциал Дебая

-iS = -y2"(Q + tP)ctg0, (86)

который соответствует монопольным электрическому и магнитному полям.

Комплексный потенциал горизонта, соответствующий (84), (85), как и следовало ожидать на основании общих теорем, является постоянным

Ttl= +QntA3= Q+f , (87)

ZM

его вещественная часть — электростатический потенциал — совпадает с (1.24), мнимая часть описывает магнитостатический потенциал магнитного заряда Р.

Точечный заряд на оси симметрии

Рассмотрим пример заряженной частицы, удерживаемой в покое в точке г = Го на оси симметрии поля Керра. Соответствующая плотность тока равна

Jii-——г0) б (cos 6' — 1); e = e' + te" (88)

2п2

(e' — электрический, е" — магнитный заряды).

Подставляя (88) в выражение для источника ~{Т и далее в (57) и учитывая, что при 0' = О координата R' в (54) обращается в нуль (интеграл в (54) становится тривиальным), получаем для -іф простое выражение

-х^ = AA0PjsinШо\ (89)

где A0 и ро* вычислены в точке r=r0, cos 0=1,

[A + A0 + (M2 — а2) (1 + cos2 6)—2(г—Al) (r0—М)cos 0]1/2. (90)

В соответствии с алгоритмом, сформулированным в предыдущем разделе, далее нужно построить такое частное решение для потенциала Дебая, которое приводит к величине х-ф, связанной с :116

III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР

соотношением (10). Это осуществляется с помощью легко проверяемых соотношений

^¦(iSr) = -44"-1ЇГ (91)

<92>

из которых следует, что в указанном выше смысле

XT1X^= -г^—Ло- (93)

1 2 у 2 sin O

К этому выражению следует добавить кулоновский член общего вида (74), что дает

-i3 = —ер' + Я (r) ctg 6 + -^тг • (94)

sin o sin O

и далее найти коэффициенты qo, q\, Po, Pі исходя из асимптотического поведения _iS на бесконечности, где должно быть кулоново поле заряда е и доопределения калибровки 4-потенциала, вычисляемого с помощью (5i7j). При г->-оо

Mo —г—M—(г0—M)cos 0, (95)

-и мы получаем

-13^ = q'(r)ctge + p/(r)/sine, (96)

где q'(r) и р'{г) — новые линейные функции г, q' = qo +qi'r, р'= = Po' + pi >, причем

Яо = Яо + е(г0—М) р;у2; =

(97)

p'0=p0 + eMp*0V2-, Р[=Р1-ЄР'0У2.

Учитывая соотношение (77), находим, что построенное решение действительно будет отвечать полному заряду е при выполнении условий

Яе(д-0-іар[)=-У2е, lm(q'0~iap[) = 0. (98)

Соответствующие асимптотические выражения для компонент комплексного 4-потенциала будут иметь вид (84), (85), где следует заменить коэффициенты на штрихованные. Во избежание возрастания потенциала на бесконечности следует положить qi = = Px =0, наконец, согласно (77) qQ = —у2е. Полный потенциал Де- § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

117

бая с учетом кулоновской добавки принимает вид

Vlepl



(р'-і + 2Л1 sin® 6/2+ Я0). (99)

sin t

При г0->-г+, т. е. при опускании заряда в черную дыру, имеем

Я0|г0=г+=г— M-VMi-C2Cosb (100)

к полный потенциал Дебая (99) принимает вид (86) для заряда е. Таким образом, конфигурация электромагнитного поля при приближении заряда к горизонту событий непрерывно переходит в соответствующую конфигурацию для заряженной черной дыры.

Подставляя выражение в (79) и (80), находим компоненты комплексного 4-потенциала

Л0 = еррп M + — [ (г — М) (г0—М) — (Mi — a2) cos 6 +

-\-іо(г-—М.—(г0—М.) cos 6)|, (101)

Us = -A0Csin2Q-iepl [М(l-cos6) + a0 + r-M~^7M)cos(r

L ^op*

(102)

Отделив вещественную часть, получим при е" = Q потенциал точечного заряда, найденный в работах [122—123], где была исправлена формула Копсона [127] (в [127] не было учтено первое слагаемое, пропорциональное М, происходящее от кулоновской добавки к потенциалу Дебая). В отличие от формул, приведенных в [122— 123], комплексный потенциал, найденный выше, порождает само-дуальный максвелловский тензор (5.1). При e = ie" этот потенциал описывает поле магнитного монополя.

Вычислим значение комплексного потенциала У горизонта событий (87), отвечающее заряду е=е' + ?е" в точке г0. Поскольку величина не может зависеть от угла 0 (см. § 1), можно одновременно положить г=г+, .0 = 0; тогда 320 = Го—г+ и sto = >—еро*, st$ = ie\ в результате находим

Т = е/2М, (103)

т. е. точечный заряд создает на горизонте такой же потенциал, какой создавала бы заряженная дыра с тем же значением заряда (|е|«М).
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed