Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Компоненты однородного магнитного поля в локально невра-вдающейся системе отсчета равны
B7 = b cos 6 [(г2 + a2) (P1P2—2а2гр3) —а2 AE sin"2 6],
-Ь Va sin 6 [а2 (2rpx COS2 e—РгРз) + (г2 + а2) Er], E7=-Oh [(г2 + а2) (2грг cos2 6 -P2P3) + rAE sin2 6],
(19> § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
121
Et = — ab VrA sin 6 cos 6 [(P1P2 + 2aVp3)—(г2 —a2) 2],
где pi = r2—a2, p2=r2—A2COS2B, p3= (r—M) (l+cos20), b = B2~2A^. При а = О электрическое поле исчезает, а компоненты магнитного принимают простой вид
B7=-F^ = Bc os6; Bs = F-^=-Byr l--^sin6. (20)
На горизонте событий тангенциальная составляющая магнитного поля обращается в нуль.
Модель вращающейся черной дыры, погруженной в однородное магнитное поле, в последнее время привлекла большой интерес в астрофизике [145—151]. В этой модели существенно используется факт существования индукционной разности потенциалов (14).
Совершенно аналогично строится решение для асимптотики однородного электрического поля, направленного вдоль оси симметрии черной дыры. Вектор-потенциал, генерирующий дуальный
сл ,
тензор Fliv = 2A[V>li], получается как мнимая часть (4), (5) при Fz = E и совпадает с линейной комбинацией форм Киллинга
л; =-?^ + ^-5?'). (21)
Повторяя рассуждения, которые привели к выражению (14) для разности электростатических потенциалов, найдем, что при вращении черной дыры, обладающей монопольным зарядом P в однородном электрическом поле, параллельном оси симметрии, возникает разность магнитостатических потенциалов между горизонтом и бесконечностью
ATimy--IrnT:=: Ао\ Р . (22)
2 M
Компоненты электрического и магнитного полей в локально невра-щающейся системе отсчета можно получить из (19), (20) с помощью дуального поворота.
Асимметричное скрещенное поле
Представляет интерес рассмотреть случай однородного электромагнитного поля вокруг вращающейся черной дыры, не обладающего аксиальной симметрией. Поскольку при учете влияния такого поля на метрику эта конфигурация не может быть строго стационарной, следует ожидать в этом случае возникновения пон-демоторных явлений. Построим потенциал Дебая для общего случая постоянных и асимптотически однородных электрического и магнитного полей. При г-»-оо соответствующие скаляры Ньюмена—Пенроуза должны иметь вид :122
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
ф<»> = -Jf- (F6 + iFv) = --L- (fz sin 6 + F(-) sin2 -1 е'ф -
— F(+) cos2 -J- е-?ф ф(,°°> =--l Fr ==--l (2F2 cos 6 4- F(_, sin 6ег<р + F(+, sin 6є-?ф), (23>
фГ '=(6+іТ<р)=(F:1sin8 ~F(4 cos2 т+
+ F(+) sin2 -y- e_i(p j,
где F(±) = Fx±iFy-, F=E + t'B и выбрана декартова система пространственных координат с осью z вдоль оси симметрии поля Керра, Нетрудно найти потенциал Дебая, порождающий поле (23) в соответствии с общими соотношениями
(D0 = -J-So1S; Ф* = -\-ХІХІЛ;
2-і 4 -і
Фг= - (2)о -L- X1 + ia -L. (Р + 𠦕) sin 6®0 ) Pl1 S (24)
(напомним, что при отсутствии аксиальной симметрии операторы Ss и Ss+ различны). В асимптотической области р = р* =—г~\ и прямым вычислением можно убедиться в том, что формулы (23) воспроизводятся при выборе потенциала Дебая _iS в виде
-~?Lr [f, sin 6-F(+) cos2 JLе-'ф + F(_) sin2-L еъ j . (25)
Необходимо теперь построить точное решение уравнения (5.38) для стационарного случая
(A3)t®o + XtX1U S = O, (26)
которое при г->-оо имело бы асимптотический вид (25). Для этого можно воспользоваться общим методом разделения переменных, изложенным в § 7. В стационарном случае (а> = 0) сфероидальные гармоники сводятся к сферическим. Разложение (25) фактически представляет собой сумму трех спиновых сферических гармоник с S= 1, I = I и т=0, ±1:
—їй -
Im - § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
123
В соответствии с общим видом мод -iВIm (7.27) при (0 = 0 (здесь мы не будем проводить явного разделения по четности) получим решение уравнения (26), согласующееся с (25), в форме
_,В= ? -MwlYvn. (28) ----1
Радиальные функции, регулярные на горизонте событий при ю=0, определяются формулами (7.128), что в нашем случае с точностью до нормировочных множителей дает
-1#ю со А; -іЯі±і СЛ A ( J
(29)
Сопоставляя формулы (27) — (29) с асимптотическим видом потенциала Дебая (25), находим решение уравнения (26) в форме, аналогичной (25):
_,В= —щ (FeSine-Fw cos--5-е-« + F(_) sin2 ег' j ,
(30)
ф=ф+-5-
т т — г_ г — г.
Это выражение является обобщением потенциала Дебая (3), найденного для полей, параллельных оси симметрии. Подставляя его в формулы (24), находим тетрадные проекции максвеллов-ского тензора
Ф0---- (fz sin 6 + ULuM F(—\ sin2 — е'ф —
/2 V 2 Д 2
_ Jul^Afl Fw cos2
Ф8 = (^ sin Є - F(_, cos2-5- + F(+) sin2 J ,
.(V1 = -у (F, [(а2—г2) cos 6 + ш (г — Al) (1 + cos2 6)] + + F(_,sin6 ^ia (1-М) cos2 -|--—
—F(+)sin6 [ш(Г— Al) sin2—— + -^lJ j, (31)
где | = г + їа. В выражениях для Ф0 и ф2 можно узнать разложения по спиновым сферическим гармоникам веса s=l и s=—1 :124
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
с Z= 1. Альтернативный путь получения этих формул состоит в отыскании решений уравнений Тьюкольского для ф0 и Ф2, сшитых с асимптотиками (23), и последующем построении Фі исходя непосредственно из уравнений Максвелла.
