Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
5г|;(х) = 5М-5-л(х), |s| = |s'|, (112)
при любых комбинациях, равных по абсолютной величине s и s'. В свою очередь, функции s^ однозначно (с точностью до изменения параметров массы, момента вращения и заряда черной дыры) определяют возмущения в области вне локализации источников [110].
Выражение для функций Грина (111) внешне не отличается от полученного в работе [98], однако имеется отличие в структуре величин sn(lrriti>p; х); входящие в них радиальные функции различны для разных р. Факторизованные функции Грина, построенные в [98], были проверены лишь для более простого случая диагональных проекций (112) при s=s'. Полученные в § 6 формулы (6.69) позволяют провести проверку и для s = —s', при этом оказывается, что найденное выше выражение (111) действительно удовлетворяет требованию независимости результатов для 5і|з от выбора калибровки.
Покажем, что функции Грина (111) являются вещественными. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями (28), (30) и (57), выражающими действие инверсии на парциальные моды:
Iзл(Irriti)P; х) =3л*(1—т—сор; х), (ИЗ)
а также учесть, что при замене т->—т, со->—со под знаком суммы в (111) множитель перед фигурной скобкой переходит в комплексно-сопряженный. Проделав необходимые переобозначения индексов, находим
sGret(x, x')=sGret*(x, х'). (114)
Поскольку опережающие функции Грина получаются из запаздывающих в результате перестановки аргументов и комплексного сопряжения, из (114) следует, что
sGadv(x, х') =sGret(x', х).
(115) 96^ II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
Заметим, что соотношение (109) не фиксирует нормировки радиальных функций, входящих в (111). Доопределение коэффициентов не сказывается на функциях Грина, однако нужно иметь в виду, что должны выполняться соотношения (28) и (107), справедливость которых предполагалась при выводе формулы (111).
Преобразование радиального уравнения к уравнению с вещественным потенциалом
Интегрирование радиальных уравнений (22) или (57) при s=0 осложняется тем, что эффективные потенциалы становятся комплексными. При решении конкретных задач удобнее иметь дело с вещественными потенциалами, в этом случае, в частности, проще строятся квазиклассические приближения и т. п. Преобразование к уравнению с вещественным потенциалом при всех s было построено Чандрасекаром и Детвейлером [117—119]. В основе техники преобразования лежат соотношения (42), (43), (54), (55) между радиальными функциями с противоположными по знаку значениями s. В эти соотношения входят дифференциальные операторы второго (для s= ±1) и четвертого (для s= ±2) порядков. Поскольку сами радиальные функции удовлетворяют уравнениям второго порядка, то высшие призводные можно выразить через сами функции и их первые производные. В результате получим соотношения вида
^sR = A2s (as(r)sR + bs(r) As+1^), (U6)
где As — постоянные, Cls (г) и bs(r) — некоторые функции и для упрощения записи опущены все индексы, кроме s. Функции sR
удовлетворяют радиальному уравнению Тьюкольского
= (117)
dr dr
JU = -№lA + isWA'[A-2isX'+ X = (r2+ a2)(a—am, (118)
где штрихом обозначена производная по г. Подстановка (116) в (117) и исключение высших производных от sR с помощью того же уравнения (с противоположным s) приводит к уравнению для as и bs, имеющему интеграл
у2 = A-2sCt2—AsUb2s + (аА — asbs) Д'-s = const. (119)
Введем величины as (г) и ?s (г), связанные с as{r) и bs(r) соотношениями
Xs + A-sQs о _bs A-s
s /2 (xs+A-Reas)'/2 ' Ps ^ 2 (xs +A-sReas)'/2
С помощью (119) нетрудно установить, что
Xs = eis2—?s2A2s+lsC/ + (as?/—?sa/)As+1- (121) § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
97;
Если теперь составить комбинацию радиальных функций вида
sX=As [As (г2+а2) ] '/2 (as (г) sR (г) + ?* (r)As+isR'(r)), (122)
то для нее мы также получим дифференциальное уравнение второго порядка, которое не будет содержать первых производных по черепашьей координате
d2X'
su Д = 0, (123)
dr*2
причем новый потенциал связан с (58) соотношением
A I-S 2а[+ (R'As+1)'
s<U=~-sV + —^--LZib-(124)
^(г2 + а!!)2 ?s '
Входящие В дополнительный член В (124) функции Os и ?s комплексны, в конечном счете они определяются (через (120)) соотношениями между радиальными функциями с противоположными s (116). Путем прямых, но весьма громоздких вычислений можно убедиться в том, что мнимая часть суммы (124) обращается в нуль, т. е. функция sX удовлетворяет уравнению с вещественным потенциалом (подробнее см. § 11).
Хотя описанная процедура может показаться искусственной, она удобна благодаря симметрии между прямым и обратным преобразованиями (122). Дифференцируя (122) по г, исключая вторую производную от sR с помощью (117) и затем выражая первую производную с помощью исходного уравнения через SA', найдем обратное преобразование
As^ssR = (а, + As+1 ?i)-sX -?sA'+*-j-f-,., Y
(125)
Аналогичным образом можно построить преобразование, обратное к (116):
Л! K2A^sR= (а, + As+1?s)_s7?—As+1 bs -L- -SR. (126)
dr
Изложенный алгоритм получения радиальных уравнений с вещественным короткодействующим потенциалом является лишь одним из возможных, альтернативное построение см. в работе [120]. Длинноволновое приближение
