Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
SV (г) = [К (К —2is (г—M)) + Д (4icosr—A)] (г2 + а2)-2
-G2—dGjdr*, (58)
'А і s(r — М)
(Г2 а2)2 Г2+а2
В случае s = 0 выражение (58) является вещественным и совпадает с (4.67). При эФ0 функция SV комплекснозначна, что сказывается, в частности, и на асимптотическом поведении решений. В асимптотических областях г*->±оо функция sV(r) имеет вид
у ,, і и (со + 2?s/r), ґ-+оо, (59>
s (60>
где через ks обозначена величина
i*(r+-M) (61>
2Мг+
Поскольку при г*-»- оо черепашья координата совпадает с г, из уравнения (57) с потенциалом (59) следует, что существуют линейно-независимые решения, имеющие асимптотический вид
s«<±> (г) со г*5 e±iar, (62)
Г-У оз
т. е. представляют собой расходящиеся (s«(+)) и сходящиеся (s«(-)) волны с растущей или убывающей амплитудой.
Вблизи горизонта, т. е. при г*-»—оо, решения уравнения (57) с потенциалом (60), очевидно, можно записать как
sv{±)(r) оо e±tk*'. (63>§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
87;
Учитывая, что величина Izs при S=^=O комплексна, и принимая во внимание соотношение
In Д =? Г+~М (г* + const), (64)
Мг+
справедливое в окрестности горизонта (const определяется выбором постоянной интегрирования при переходе к координате г*), можно переписать (63) в виде
st)(±>(r) C^ A^vifer'. (65)
Из анализа, проведенного в § 4, ясно, что эти решения следует рассматривать как расходящиеся (su(+)) и сходящиеся (su(-)) волны, амплитуда которых стремится к нулю либо расходится при т-*-г+.
Аналогично функциям Xup (4.75) и Xin (4.77) можно ввести функции sxup и sXi!,y первая из которых при г-»-оо представляет расходящуюся волну, а вблизи горизонта — суперпозицию выходящей и входящей волн
sXup = 8S (2 M)-'/2sU(+> = 8s(2 \k\)-^Hyis +vssv^) г (Ы), (66)
а вторая — падающую на черную дыру волну при т-*т+
sxin = Ys (2 I k I)- V2 Ts su(-> = Ys (2 I со I)1/2 (s«<-> + os s«<+>), (67)
где 6S, Ys', Hs> vs> Ts. °s— некоторые комплексные коэффициенты (не путать со спиновыми коэффициентами!). Эффективный потенциал (58) при комплексном сопряжении переходит в
(68)
поэтому наряду с (66) и (67) решениями радиального уравнения будут -SXup* и _sxin*. Приравнивая асимптотические значения вронскиана W(_sx!n*, sXup)> находим соотношение между коэффициентами в (66) и (67)
*
k CT с
Vt=-L-=L. (69)
Hs x_s
Аналогично использование вронскиана W7Gxin. sXup) дает
(«s=~. (70)
Ks Ts
Наконец, с помощью вронскиана W(_sxin*, sXin) получим соотношение
OsOls+ е (My TsTls=I, (71)88^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
обобщающее (4.79) на случай s=/= 0. Заметим, что наличие знакового множителя перед вторым слагаемым выражает эффект сверхизлучения для всех S (ср. (4.79)).
Построим теперь потенциалы Дебая, отвечающие решениям однородного уравнения типа in и up. Соответствующие радиальные функции с противоположными значениями S должны быть связаны между собой соотношениями (42) и (43) при S = ±2 и (54), (55) при S = ±1. В результате подстановки (56) применительно к функциям s&imap получим набор решений а также комплексно-сопряженных, которые обозначим вслед за Хржа-новским и Мизнером [94] как
ydown—C vup у- vout _ / vin (72V
sA-lmap sMmap' > s^lmap ^sMmap' ' \'"r
Для этих решений между коэффициентами as, Ts с противоположными значениями s имеются соотношения, вытекающие из формул (42), (43), (54) и (55), применительно к асимптотикам функций sXimap- Предварительно заметим, что в асимптотических, областях операторы <2)0 и <2>0+ имеют вид
®о=(25ЙТ =
дг
2 Mr4.
/со, г*-* оо, (73)'
-~-ik), г'^ — оо. (74).
Действуя оператором (73) на асимптотики функций «(±) (62),, найдем с учетом главных членов
2flV"> = (2im)2'V-\ (75)
в то время как величина iZ>os«(+) более высокого порядка малости при г->-оо. Аналогично
(2tf)2lV+)=(2;cD)2'V+>, (76)»
тогда как величина <Z>0мала.
В области вблизи горизонта предварительно следует умножить функции su(±) на As/2 (см. (56)), представив А с помощью соотношения (64). Применяя к асимптотическим выражениям (63) оператор (74), найдем, что при г—>-г+
Sgs As e-ikr' = qs А-е-*", (77)
As eikr' = qs A_s eikr* ,S= 1,2, (78);
в то время как величины SfoNelkr' и (S)t)2s N e~lkr*' при r->r* малы. В формулах (77), (78) величины qs равны
q2= (Шг+)^кк-\к-2,§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
89;
q\=^{AMr+)2k\k (79)
(отметим, что ks*=k-s)- Применяя соотношения (42), (43), (54) и (55) к радиальным функциям s&tmwP, соответствующим решениям in и up (66), (67), с учетом сказанного получим следующие соотношения между коэффициентами:
Y-S = Qfsl 2-3s CO-2sY5, (80)
8_s = QfsTs 2*оуЧ, (81)
o_s=(2co)4s I Q|s| I-2sOs, (82)
(2to)2
тде введено обозначение Qm для величин
T_ls| = (-l)sifATls|, (83)
4|s|
Qo= 1; Qi= -іС/тш; Q2 = (CLco) . (84)
Специализированные таким образом коэффициенты в выражениях для мод (66), (67), (6.72) определяют согласованные выражения для радиальных частей потенциалов Дебая (27) в обеих калибровках in (s>0) и out (s<0). Возмущения метрики могут быть найдены с помощью формулы (33) в любой из калибровок, при этом соответствующие полевые функции Slf одинаковы, как это и должно быть в силу калибровочной' инвариантности мак-свелловского тензора и тетрадных проекций гро, тензора Вейля.