Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Qik = 2 фк + 2 Q(ik, (82.20)
а афЬ
где *)
= (82.21)
QT = j hk(grad aa • grad ub) - I g-Jg • (82.22)
Сообразно разложению (82.20), мы можем решение Vik уравнения (82.18)
искать в виде
Vik = 'ZvT + 2iV?l!'\ (82.23)
о афЬ
где отдельные члены удовлетворяют уравнениям:
LVta) = Фк\ (82.24)
Д VTk] = Q\T- (82.25)
Мы найдем явные решения написанных уравнений для случая не-вращаюшихся
сферически-симметричных масс. В этом случае ньютонов потенциал от массы
(а) во внешнем пространстве будет
(82.26)
и выражения (82.21) и (82.22) для Q%a) и Qik>) примут вид:
2 Л/Г2 ( 1 о?к (х? й?) (Хк &!с) ) /о о О'гч
Qth -тМа[2\?=1Г*----------------\?=z\*------Ь (82*27)
n'.f) - у2м м, • - aj) (Xj ^
Чгк - Т/иотъ 2 I | г - a I31 г - Ь|3
г - Ы3
(х{ - at) (хк - bk) -f (Xj - bj) (xk - ak) \ 0
| r - a |3 • | r - b Is J* (82-28)
*) Величина Q[ka> обозначалась нами раньше (в § 71) через
§ 82] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ ДЛЯ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС 386
Эти формулы справедливы вне масс; внутри же масс нужно, строго говоря,
пользоваться более точными выражениями (82.21) и (82.22).
Различие между точным и приближенным значением величины Q^ не будет,
однако, существенно влиять на значение функции Vffi, по крайней мере в
том случае, когда линейные размеры масс малы по сравнению с их взаимными
расстояниями. Поэтому мы будем разуметь под величиной Qfk] в правой части
(82.25) выражение (82.28). Это выражение имеет в точках г = а и г = b
особенности не выше дипольного характера. Вследствие этого, уравнение
(82.25) для Vffi будет иметь решение, которое остается конечным во всем
пространстве, включая точки г = а и г = Ь, и обращается на бесконечности
в нуль.
Это решение может быть найдено в конечном виде. Для этого напишем
выражение (82.28) в виде производных по параметрам аь bj,
от функции Дт г~ . Мы будем иметь
I г - а | • I г - Ь[
<аЬ)= 2 MaAtb(b (Е_________<?2 \ 1 г82 29,
^ ' 2 \ tkddjdbj datdbk дакдЬ{)\т - а | - j г - Ь|' к
'
Поэтому уравнение (82.25) сводится к более простому уравнению
^?щг-"|.'|г-ы <82-3°)
Действительно, если ад есть решение (82.30), го величина
V(ab) _ '(ШиМь(г д2У дЦ \ го9чп
2 \ ik ddjdbj ddidbk dakdbj ' ' '
будет решением уравнения (82.25).
Но решение уравнения (82.30) легко написать. Обозначим через s периметр
треугольника с вершинами в точках г, а, b
s = | г - а | -(- 1 г - b | -f- | а - Ь[. (82.32)
Тогда функция
<р = lg s = lg (j г - а I Н-! г - b | +1 а - b I) (82.33) будет
удовлетворять уравнению (82.30), так как мы имеем
Alg"=lr_,|.'|r_tr (82.34)
Таким образом, искомое решение уравнения (82.25) имеет вид:
ym = и mgs _ Pi8 _*igs\ _
2 \ " ddjdbj daldbk dakdh{ j
Нетрудно проверить, что это выражение остается всюду конечным и
обращается на бесконечности в нуль.
25 485, В. А. Фок
386 ПРИВЛИЖЕППЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
Обратимся теперь к уравнению (82.24) для Перенеся начало
координат в точку а и учитывая сферическую симметрию, мы можем написать
его в виде
ДИ/f1 = (1 и' (гу\ (82.36)
где мы положили для краткости
иа=и(г). (82.37)
Решение уравнения (82.36) можно искать в виде
14"' = - ('') + (хл - J 8йТ2) q-г (г)- (82.38)
Тогда q0 и q.2 должны удовлетворять уравнениям
5? 4-Tiir = -itt'№ (82-39>
1^ + 7W = ~7*U'(г)9' ^82-4°)
откуда, имея в виду граничные условия, получаем:
СО )*
q0(r) = j \ ги'(г? dr +±r jг*и' (г)*dr, (82.41)
у О
со г
<7-2 (г) = 1J1 а' (г)2 dr + ± J rv (л)2 dr. (82.42)
V о
Если радиус тела равен L, то при г > L будет
в(/) = 1^*-, (82.43)
и выражения для q0(r) и д.,(г. приведутся к следующим:
Y2442 Ye0
(О =-------J2TT "И 37 > ^82-44>
= (82'45)
где
L
X0==?--i_ [ г*и'(rf dr (82.46)
Y а o'
есть некоторая длина порядка L, а величина
СО
. = j (grad u*>' J rV ^ dr (82-47)
§ 82] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ ДЛЯ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС 387
есть взятая с обратным знаком гравитационная энергия тела. Подставляя
найденные значения q0(r) и q2(r) в формулу (82.38), получим
КГ = (82-48)
или, если вновь заменить xt на xt- ait
т иоо! _ tK (*i - ai) (xk -ak) 1 f, 1*0,
Vik - 4 | r - a I4 3 tt[r - a I
f-Mil
a a
(xi - a?)(xk- ak) - jbik(T - af}. (82.49)
Здесь последний член мал по сравнению с первым, если расстояние
до массы (а) велико по сравнению с ее радиусом; строго
говоря,
его следовало бы отбросить, гак как подобное пренебрежение уже сделано
при вычислении V{kb].
Нам остается написать решение уравнения (82.17). Положим, для не-
вращающихся масс
Vi = 0-1, pik = -phk> (82.50)
где р определяется из уравнений
dp - 'jdua, (82.51)
причем, согласно (74.24),
j* р {dxf - j 80. (82.52)
(а)
Мы будем тогда иметь
= (82.53)
а
Ципольные члены здесь равны нулю по причине сферической симметрии тел, а
члены более высокого порядка относительно LjR [того же, как последний
член в (82.49)] мы отбрасываем.
Полагая теперь
1 Маа<ак fM2a (х{ - а{) (хк - ак)
¦а | 4 |г -а]<
^(аа) _ |maaiak | iJiH0№ ai) аЮ 54^
с(аЪ) _ лг{аЪ\ _ fM"Mb /г ifflgs ffigs эз lg s \ S9 с с Sik -vik- 2 \°ik
да.дь. ~дсцдЬк dakdbt ) ' 'бг-ьь>
