Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 127

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 167 >> Следующая

т* ----- тг"1'г ¦ (81.12)
Щ + 7Иа
для приведенной массы и заметим, что
тйт* = т.^2. (81.13)
Мы имеем также
mjri-f-m2rl ~ (81.14)
mi (Х1Л - Уixi) + Щ ОфЛ - У2х2) =
= то (хоУо - Уохо) + т* (ХУ - Ух)> (81.15)
Х>У\ - *t М2 = хоУ - хУо- (81.16)
Из формулы (81.07) непосредственно видно, что радиус-вектор ньютонова
центра тяжести будет все время оставаться малым, причем
скорость его изменения также будет мала. Если порядок величины
гиг принять равным R и q, то будет
го~Я§: r0~g. (81.17)
Поэтому во всех поправочных членах, содержащих в знаменателе с2, мы можем
положить вместо (81.10)
а также
г -^г; га = -^г, (81.18)
1 т0 2 т0
= - г; г0 = - ^г. (81.19)
1 Ото 2 Ото
Делая эти пренебрежения в самом уравнении (81.07), мы можем написать его
в виде*)
___________(Щ - "ч) _ (.""Се Yт*т\ ^, олч
"0г0 = г (/"' г- - -). (81.20)
Отсюда можно заключить, что в случае финитных движений ньютонов центр
тяжести г0 колеблется около своего среднего положения.
Перепишем интегралы энергии и момента количества движения в предположении
малости г0. Даже в главных (ньютоновых) членам выражений (81.02) и
(81.06) можно пренебречь величинами г0 и г0, так как, согласно (81.14) и
(81.15), они входят туда квадратично; это значит, что можно везде
пользоваться значениями (81.18) и
(81.19). Вводя эти значения в интеграл энергии (81.02) и разделив
*) Эта формула впервые получена в нашей работе 1941 г. [*].
§ 81]
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ КОНЕЧНОЙ МАССЫ
377
результат на приведенную массу т*, мы получим для величины
Введем теперь значения rt и г0 в интеграл момента количества движения.
Вследствие (81.16) и (81.20) последний член в (81.06) будет с большой
точностью равен нулю, а остальные члены дают
Аналогичные выражения получаются и для других составляющих момента
количества движения. Из этих выражений видно, что в пространстве
относительных координат л:, у, z орбита будет плоской. Беря плоскость
орбиты за плоскость ху, мы можем, как обычно, положить
Обозначая постоянную в левой части (81.23) буквой р., мы будем иметь:
Прежде чем идти дальше, сравним найденные здесь интегралы энергии и
момента количества движения с теми, какие были получены в § 58 при
исследовании движения бесконечно малой массы в поле большой или конечной
массы. Мы должны ожидать, что при т*-0 формулы задачи двух тел перейдут в
формулы задачи одного тела. Проверим это. Согласно формулам (58.26) -
(58.31), мы имели в § 58 следующие соотношения:
(81.21)
выражение
z = 0; z = 0 и ввести полярные координаты г, (r) по формулам х - г cos <р;
у = г sin (r).
(81.24)
(81.25)
<8,'26)
г - a dt 1 [ Ер
Г a dt s "t" с(r)'
г - a dt
(81.27)
(81.28)
где
т
Г -|- а С
Г - а
378
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
а величина а есть гравитационный радиус большой массы, который можно
принять равным
Т"о
Полагая
мы можем приближенно написать вместо (81.29)
т-
' Г + а
откуда
и затем
?С+т)4
dt_
Ж
-~лГ ^afi+^(i+^W + --
т V г - а / т- 2c-i \1 П- r j V -г 8 С4
г - a dt
г + а dx
1
, За э 3 г"4 2с2 ^ ~Т~ 8 гЛ
а'
~2г*
(81.30)
(81.31)
(81.32)
(81.33)
(81.34)
Вводя это выражение в (81.27) и заменяя величину а ее значением (81.30),
получаем для Е0 значение
Яп= о-^-
~1т0
г
. 1/3 3 imn Y3m?.\
+ ?(т^+2-^ + У)- <81'35>
которое совпадет с даваемым формулой (81.22), если в этой последней
положить т.* = 0.
Чтобы сравнить уравнения (81.26) и (81.28), выделим в последнем уравнении
множитель г'2" и напишем его в виде
(¦ +4
' Ё. . г-2 *1 -
</т dt 'Х-
(81.36)
dt
dx
Значение 4- можно взять из (81.33), причем члены порядка г>4/с4
можно отбросить. Тогда будет
(¦+4
<и_
dx
(81.37)
Заменяя здесь гравитационный радиус а его значением (81.30) и подставляя
в (81.38), получим
(\ = u.
\ 2с2 1 сйг / <// 1
(81.38)
Если в уравнении (81.26) положить tn* - 0, то оно совпадет с (.81.38).
Таким образом, после перехода к пределу интегралы движения в задаче двух
конечных масс действительно переходят в соответствующие интегралы
уравнений геодезической линии, определяющей движение бесконечно малой
массы в поле конечной массы. Заметим,
81] ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ КОНЕЧНОЙ МАССЫ 379
что такое сравнение возможно только благодаря тому, что в обеих задачах
мы пользовались одинаковыми, а именно гармоническими, координатами.
Продолжим теперь исследование уравнений движения двух конечных масс и
найдем уравнение траектории относительного движения. Для квадрата
скорости (81.31) мы сохраним обозначение v2 вместо г'2. Если мы еще
положим
" =7. Г81.39)
мы будем иметь тождество
<8,'40)
откуда, после умножения на квадрат множителя при г2<р в формуле
(81.26),
<8L4,>
В левую часть мы можем подставить значение v°- из интеграла энергии
(81.22), в котором мы введем вместо (г • г)2 выражение
(г • г)2 = г1 • v1 - р2. (81.42)
Формула (81.22) для Е0 напишется тогда:
+ 2J7 (3^0-Н-2/и*) г;2+ - (81-48)
Решая приближенно это уравнение относительно f2 и подставляя
найденное значение г>2 в (81.41), мы получим, после замены 1 /г
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed