Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
kSfb)~Qfb\ (83.18)
Для Q{ia) мы возьмем выражение, аналогичное (82,21) и справедливое также
и внутри данной массы:
диа дпа
Для Qi"6' мы ограничимся выражением, справедливым вне масс и аналогичным
(82.28), а именно:
Qr = j fMaMb ((3^ - 4b J) _|_
(х,-- aAfXj - bA . . (A',- - a,:)(x,- - bA\
+ (33,-4",) +¦a*;, , _ ь|г + 4 (°< + *<> I (-Tp I г - b I ' <83-2°)
Чтобы решить уравнение (83.17), представим его правую часть в виде
Qfa) = b;Q{l;a) + 7 аД;а). (83.21)
Решением будет, очевидно,
Sfa) = 'ajV^f -f- 7н;У}уа), (83.22)
где V{;a) есть найденное выше решение (82.38) или (82.49) уравнения
(82.24).
Переходя к уравнению (83.18), представим его правую часть, |. е.
выражение (83.20), в виде
= i fM"Mt | (3", - 4*,) ^ + <33, - 4J,) ^ +
+ 4 С + 8)-щщ I -|Т4, аг'| ¦ l"JS>
ЧГ' = ",(- ) • (33.19)
392 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫ0 ВОПРОСЫ [гл. VII
Вследствие (82.34) решением уравнения (83.18) будет МаЬ)- 1 П ,, л/1 [ (О
' A h \ д2 s
+ (з?, - 4аj) -ДАТ _|_ 4 (". + j., Д-!?g- ]. (83.24)
* J J J
Мы выпишем также значение S["a) вне масс. Для этого нужно подставить в
(83.22) значение V{ijL) из (82.49), причем можно опустить члены,
содержащие ка и быстро убывающие на больших расстояниях.
В получаемом для 5;ao' выражении удобно выделить гармонический
член и писать Siaa) в виде
ST' = - Ц- а, -т~-г + Sfa\ (83.25)
о | г - а |
где
о(аш _ ..2 ,л | ; (*<-",)(*,-",) 7 а, |
S*---------------------------------- 4jTL.a,4-------------------------
HTTFzr^r>. (83.26)
Подстановка этих выражений в формулу (83.16) даст значение Sit которое,
вместе с найденным раньше значением (83.13) для Uit позволит по формуле
(83.05) определить и д°С Формулу для д0? можно написать в виде
= (83.27)
где
t/*=SlT^n(^ + % + Чт (т* + 3^ <•>)}
+
+ 2^ж2^л1г-а1> С83-28)
а
S'* = 2 Sioa,-b 2 Sfb). (83.29)
а а ф Ь
Здесь величины U-х и S* отличаются, соответственно, от 1!х и 5,
гармоническими членами, содержащими га. Заметим, что величина га входит в
только через посредство эффективной массы (83.12). Сумма Si есть
однородная квадратичная функция от масс, тогда как 11х зависит от масс
линейно.
Нам остается найти явное выражение для временной компоненты
потенциалов тяготения, т. е. для величины д00. В § 68 уже были
выписаны уравнения, определяющие д00. Согласно (68.42) и (68.40) мы имеем
+ ^ i11*' (83-30)
§ 83] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ ДЛЯ НЕВРЛЩДЮЩИХСЯ МАСС 393
1 ie U есть обобщенный ньютонов потенциал, удовлетворяющий уравнению
U) Т°°' {83'31)
a правой части которого стоит выражение
(с* + \ и) ?'* = :, + А(I^ + П(83.32)
вытекающее из (66.07) и использованное в § 79. Потенциал U вычис-тяется
подобно тому, как был вычислен в § 77 потенциал U*, с тем упрощением, что
теперь массы предполагаются сферически симметричными и невращающимися.
Используя (83.09) и (83.10), получаем
f (с*+i u) т°°(dx)*= м-+i+w -uW ^ (83 •33)
(а)
и, следовательно,
^=S \т~ a 11 м"+wз°+~lJia) (а)) 1+
а
+ iwS^"|r-a!. (83.34)
а
Подстановка этого выражения в (83.30) дает д00. Тем самым заканчивается
определение потенциалов тяготения во втором приближении.
Мы должны еще проверить, что полученные для д00 и д0< выражения
удовлетворяют условию гармоничности
Т+$?=°- (83-35)
Дифференцируя выражения (83.34) и (83.28) для U и Uit получаем
непосредственно
у yMgCtjU^ (а) ,
dt ' dt 2е3 ^ | г - а I '
<83-36>
а
.Далее, мы имеем из (83.26):
dSfa) 7 д тХ
дх> A dt I г - а р *
(83.37)
394 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
11ри вычислении выражения
т|г=г- +
+ <9*"-Ч>?Г,-Щг -И <", + V щ ) (83.38)
мы должны использовать формулу (82.60) и две другие формулы, получаемые
из (82.60) перестановкой букв а, Ь, х\ кроме того, при преобразовании
выражения (83.38) следует иметь в виду, что lgs и производные от этой
величины зависят только от разностей координат, вследствие чего,
например,
(^7 + ^7 + ^7)lgi'==0' (83-39)
Объединяя в выражении (83.38) члены, содержащие |г - а! ¦ |г - Ь|, затем
члены, содержащие |r - a j • | а--Ь|, и наконец члены, содержащие |r - b
| • | а - Ь|, можем написать:
<а6' 1 ¦>" " I V д д
- = 1 fMaMh I - 7 а. 7b. -----f-.-------г-p 4-
С{ 4 ' a ь l з да-j J dbj \ | r - a | -1 г - b | 1
dx{
+ | fMaMb { - 7aj ±- + (aj + b}) ¦ d
dbj ) | г - a | • | a - b | '
+1 fM"M, ( _ Tb, 4 +("; + b,) 4 ) 1r"b|!,a_"r. (83.40)
Суммируя это выражение по а и по b (с пропуском члена а = Ь) и складывая
с суммой по а от (83.37), получаем:
dSt 1 г г V УЛфЯ:С(а)(а)
dxj 2 dt 2 дх{ 2u | r - a | '
a
a
Но, если в формуле (83.30) заменить в поправочном члене U на U, то левая
часть условия гармоничности (83.35) будет отличаться лишь
4
множителем от выражения
dt ' dxi са \ 2 dt | дх{ J
С1
а
ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ
395
которое получается после прибавки к (83.36) деленного на с2 выражения
(83.41) и переноса одного из членов в левую часть.
Но мы имеем
(ди{а\т)\ <?Ф " ,
М-тзгД,"--&7' (83'43)
где Ф- ньютонова потенциальная энергия
Ф = - ' У •; >Ы!к . (83.41,
