Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Si = } { - 4 J р Ufdxf - J Р (Ас)"}. (85.20)
Рассмотрим теперь в (85.16) члены, убывающие как . В подин-
тегральной функции среди этих членов есть такие, которые не зависят ни от
х', ни от х". Они дают
St = • (85'21)
§ 85] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 40&
Остальные члены порядка ^ имеют дипольный характер. Обозначая
их через Sf\ будем иметь:
7 Xj Р (* (х[ 4- х")
Sf = - т tV J J <р(r)<>' Р [7^Т
-4^78- J J (№) Р • (dx'f(dx'y -
- т ^ 3" J J (Р(r)/С^')8 С^*")3 +
+ т ^ 5 J J (Р^)' р" (^')3 /dx")S- (85.22)
Напишем это выражение в виде
•^i1'=-^Г (•4/tT-?ji)i (85.23)
где и Вц представляют антисимметричную и симметричную часть
соответствующего коэффициента
Ац -- - Aji, Bfj = Ву, (85.24)
Мы имеем
Aji = -¦4 Т J f (p^i/p" |-r/~~V| (dx'f(dx"f +
+ TT J J (P p" | r, _V1 <4*')3 (dx"f -
1 Г Г , n (X'iX7 -Х"Х?<ХЪ- x'l)
- TtJ J W'p'-^^ir 'k-(dx'f(dx"f, (85.25)
= - j 1 J J (p(r)i)' p" |Г/ УT" | <4*7' (*Os -
~ 7 T J J <P(r)/p,/ jrrzV' i (ах'У' (dx"7 -
-tJJ wp
4- j ТЗ,/ J J И*)' p" i rf_ <7*7 (<**")"• (85.26)
Вычисление A^ дает, после некоторых выкладок,
Aji = - 2 J p (*,7/j - JCjt/j-) (?/4C):i -
-И Кой4-*'4ж)<^8- <"5-27>
404 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл.
VII
Здесь мы воспользовались соотношением
dW , dWk
dt 1 dxk
= 0, (85.28)
вытекающим из определения (85.07) и (84.08) величин W и Wt и из уравнения
неразрывности.
Для симметричной части Вц диподьного коэффициента получаем
Вп = - \
J1 4
I
[ Р0*.Л +¦ XiVj) U (rfx)B + if ( ди dU\,. , 7 " f dW , . ,o
.0,
4 J (ЧЩ-дГ)(dx) + 2 °У J P ~dt idX) ¦ (8°'29)
Здесь мы воспользовались соотношением (85.28) и аналогичным соотношением
для потенциалов U, Uk. Нам остается составить сумму
?/j -T-rrSj и произвести в ней приведение подобных членов. Обозна-
чер получим
чив через U\ первый член в формуле (85.10) и пользуясь (85.20),
(Л+i S! = A J ((". + 4t,)7"-A(4U1+ (85.30,
Но в силу (85.11) и (85.12) это выражение равно
= (85.31)
где Pi-полное количество движения системы, включая поправки
порядка Рассмотрим теперь ту часть дипольных членов, которая
имеет антисимметричные коэффициенты. Вследствие (85.27), (85.11) и
(85.13) эта часть равна
р { \ J ^ + AU)(xjT^-xir'j)(dxf + ^Ajl\ = р MJit (85.32)
где Mji-полный момент количества движения системы, включая релятивистские
поправки.
Всю совокупность дипольных членов мы можем написать в виде
+ ^ 54 = р(% + %), (85.33)
где L)ji - симметричная часть коэффициента. Обозначение (точка сверху)
оправдывается тем, что эта величина может быть представлена в виде
производной по времени от некоторой величины D}i, имеющей простой
физический смысл. Сравнивая последнюю формулу
§ 85] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 405
с (85.10) и (85.23), получаем для Dy выражение
Djt = f (с4 + 4i/) (T°*xj + T°JXi) (dxf + J- By . (85.34)
Подставляя сюда значение T0i из (85,03) и значение By из (85.29), будем
иметь:
которое равно нулю в силу внутренних уравнений движения, и используя
равенство
а также формулу (79.04) для полной производной по времени от
Первый член в этом выражении есть момент инерции системы тел, вычисленный
с учетом весомости кинетической и потенциальной энергии. j
Теперь мы можем написать полное выражение для
Согласно (85.10), (85.21), (85.31) и (85.33), мы будем иметь:
Dj, - j p(vtx)-4-VjXi)(dxf-\-
с-
(85.35)
Прибавляя сюда выражение
(85.37)
упругой энергии П, мы можем написать величину Dy в виде
(85.38)
где
Dy = j pxiXj 11 + ~ (^- w"3 + П - j i/)} (dxf +
(85.39)
fMPkx{xk 1 d"Wi
4с2г* (Л
(85.40)
406
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VII
и, следовательно,
4у 2 ух,- д2 y
qoi = -Lp - ъ4 Dn -|-
•' сЧ г ' сЧ$ dXjdt с-г Р 1
, <53 2у
' <5лу <5х/. сЧ J
, fMPkx,xk . 4 <52[У,: гяч 4П
Г С5Г4 ~t С5 й/2 • (oo.ni;
Нам остается найти временную компоненту q00, которая выражается через
обобщенный ньютонов потенциал U по формуле (83.29). Согласно (83.30) и
(83.31), мы имеем
- чМ чх1 <53 у
U = I- V MX, + -=¦ л-л-L Dik -
г ' r$ )' 2 dxjdxn г Р
1 <53 W сз дР
Т <5.V; дхк дХ/ 7 j PXJX*X* ^ + ;
(85.42)
Здесь M есть полная масса
(dxf, (85.43)
которая в силу (79.45) постоянна, аХ - координаты центра тяжести
МХ}
(dxf, (85.44)
которые, согласно (79.59), являются линейными функциями от времени.
Величины Оц определяются формулой (85.39); последний член в этой
формуле, пропорциональный оу, из выражения (85.42) выпадает.
В октупольных моментах мы отбросили релятивистские по-
правки. Последний член в (85.42) представляет поправку на запаздывание.
Подставляя найденное значение U в формулу
Я00 = 7+4# + ^!' (85-45-*
получаем q00, а именно
дОО _ 1 jdM 4щ
О с 1 с>Г 1 С3Г" 3
д- 2у Гл д3 2у Г , . ч-> -
дxj дхк 7г & ~~ дх,- dxj дхк 3сЧ J ' x7jxk (dxf -4~
7fM* l4fM2X,-x, 4 <53W'
+ -7575Ч----------^----------------------------------------hc-F-gjT* (85-
46)
Легко проверить прямой подстановкой, что это выражение вместе с найденным
выше выражением (85.41) для goi в точности удовле-
РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ВОЛНОВОЙ ЗОНЕ
