Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Qi = XiU- 2^| (79.54)
ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ
369
удовлетворяет уравнению Пуассона вида
AQi = - 4тт^. (79.55)
Вследствие (79.52) и (79.53), в правой части уравнения все интегралы,
кроме первого, сокращаются, и мы получаем
t J *iP j 1 + I (I + П - -i t/)} (dxf = J G, (dxf = /><, (79.56)
где, согласно (79.15), P{ есть константа. Поэтому формула (79.56) может
быть написана в проинтегрированном виде, а именно:
+jf(j"a + n --\u))(dxf~tPi=Ki, (79.57)
где Ki есть новая константа. Имея в виду постоянство полной массы М,
определяемой формулой (79.44), мы можем ввести три величины Xi при помощи
соотношений
MXi= jx#{\ +JL(Iw4 + n --Jf/)}(d*)8. (79.58)
Эти величины можно толковать как координаты центра тяжести системы масс,
а формулу (79.57), написанную в виде
MXi - tPi = Ki, (79.59)
- как выражение закона движения центра тяжести. Исходное равенство
(79.08) можно рассматривать как результат дифференцирования но времени
соотношения (79.59).
§ 80. Дополнительные замечания к задаче о движении системы тел. Явная
форма интегралов движения для случая невращающихся масс
В предыдущем параграфе были выведены интегралы движения системы тел в
предположении, что внутри каждого тела выполняются нерелятивистские
уравнения движения сплошной среды
(79.01) - (79.04). Возникает вопрос, остаются ли в силе найденные
интегралы движения, если считать уравнения движения сплошной среды
выполненными внутри тел лишь приближенно (как в § 73) и взамен них
потребовать лишь выполнения уравнений движения для тел, как целых. При
этом, разумеется, нужно вернуться к предположению о том, что тела
вращаются как твердые.
По отношению к количеству движения поставленный вопрос решается весьма
просто. Полученные в §§ 75 и 77 уравнения движения
24 зак. 185. В. А. Фон
370
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
как раз и состояли в том, что величины
Раг= fOiidx? (80.01)
(СО
удовлетворяли соотношению
tJP ¦
-dT = Fav (80.02)
где, согласно (75.33),
2ffli = 0. (80.03)
а
Поэтому постоянство величины
P^jG^dxf (80.04)
есть следствие уравнений движения тел, как целых.
То же самое можно сказать относительно величин
- xkG0 (dxf, (80.05)
представляющих момент количества движения системы. Уравнения
вращательного движения были выписаны нами (в § 72) только в ньютоновом
приближении. Но более точные уравнения, написанные для суммы орбитального
и собственного момента количества движения, как раз и имеют вид
fik - хкОд (dxf = А*, (80.06)
(о)
где ?("' есть сумма интегралов, стоящих в правой части (79.20), но
распространенных не на все бесконечное пространство, а лишь
на
область массы (а). При этом, как доказано в § 79, имеет место
равенство
2 = 0, (80.07)
а
в силу которого постоянство величин Mik есть следствие уравнений
вращательного движения в форме (80.06).
Проверим теперь выполнение соотношения
f Л?"(^)' = 0. (80.08)
(а)
Это соотношение должно быть выполнено для того, чтобы выполнялось
соответствующее условие гармоничности. С другой стороны, если оно
выполнено, то будет выполнено и соотношение (79.06), связанное с
интегралом энергии.
§ 80]
ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ
371
Преобразования, которые привели нас от (79.03) к (79.38), применимы и в
том случае, когда все интегралы распространены на область только одной
массы. Поэтому мы можем сразу написать
;J 'J{1 + ^+11 -и)} W+i/рw{dxf = °> ^80-09)
ci
lit,
(<о (а)
а так как в отдельности
о (йх)ъ - Мп = const, (80.10)
S'-
(а)
то ДОЛЖНО оыть
;||?(ч=гиЧ-Н -Д)(<7х)8-+- \ P^f(dxf=°- (80.11)
us) (а)
Это соотношение выполняется в силу уравнений движения (79.01) -
(79.04) для сплошной среды. Нам нужно показать, что оно будет
приближенно выполнено и л том случае, если уравнения движения сплошной
среды удовлетворяются лишь в среднем, и тело предполагается вращающимся
наподобие твердого тела, но необязательно с постоянной угловой скоростью
(см. § 73). В этом случае дело сводится к проверке соотношения
jpvilwi - - 0, (80.12)
(а) *
получаемого из (80.11) после дифференцирования, при учете того, что
упругая энергия остается постоянной. Здесь есть ускорение, для которого в
§ 73 дано выражение (73.07); подинтегральная функция в (80.12) есть
умноженная на левая часть (73.08). Равенство
(80.12) легко проверяется при помощи формулы
(Ц.
(о) Pi '
(щягХ Ъ(80-!3)
\дх{ dXjja
) Pvi
(а)
которая может быть написана в виде
<80Л4)
Эта формула совпадает с (72.32) и выполняется в силу уравнений
вращательного движения тела. При проверке соотношения (80.11) можно также
рассуждать следующим образом. Разделяя потенциал U на внутренний и
внешний и используя уравнения (71.19) и (72.09), выражающие равенство
нулю равнодействующей внутренних сил и их моментов, мы можем написать
(* р (dxf = _ j* ?v. dJLi (dxf = о. (80.15)
24*
372
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
Кроме того, очевидно,
? dt
(а)
J Р (П - йц) {dxf = 0. (80.16)
Поэтому уравнение (80.11) сводится к такому, в которое входит только
