Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 J 1 | а - b: v '
а фЬ
Поэтому, в силу ньютоновых уравнений движения будет
и правая часть (83.42) обращается в нуль. Таким образом, условие
гармоничности (83.35) выполняется.
Чтобы получить для потенциалов тяготения дг-4 не слишком сложные явные
выражения, справедливые также и внутри системы тел (между массами), нам
пришлось, в этом и в предыдущем параграфе, ввести довольно сильные
ограничения: мы предположили массы сферически симметричными и не
вращающимися. От этих ограничений мы освободимся в следующем параграфе,
когда будем рассматривать потенциалы тяготения на больших расстояниях от
системы тел.
§ 84. Потенциалы тяготения на больших расстояниях от системы тел
(пространственные компоненты)
В этом параграфе и в следующем мы выведем для потенциалов тяготения явные
выражения, справедливые на "умеренно-больших0 расстояниях от системы тел.
Под "умеренно-большими0 расстояниями мы разумеем такие, которые хотя и
велики по сравнению с размерами системы, но все еще малы по сравнению с
длиной излучаемых системой волн (см. § 64). Относительно внутренней
структуры тел мы сохраним столь же общие предположения, как и те, какие
мы делали в § 79 при выводе интегралов уравнений движения системы тел.
Начнем с определения пространственных компонент Мы имеем, как и в § 82,
94й = -+ (84.01)
где, согласно (82.16) - (82.18),
Sik = uik 4" Vik>
(84.02)
396
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
и функции Uik и Vik удовлетворяют уравнениям
bUik = - (!'vivk - Aft). (84.03)
= (84.04)
Правая часть уравнения (84.03) отлична от нуля только внутри масс и
имеет, если пользоваться математическим термином, моменты всех порядков
(см. § 70). Это значит, что, умножая ее на произведения
различных степеней координат и интегрируя по всему объему, мы
получим сходящиеся интегралы. Поэтому решение уравнения (84.03),
справедливое вне системы масс, можно написать в виде ряда по шаровым
функциям (мультиполям). Начало координат мы возьмем в какой-либо точке
внутри системы тел, не обязательно в ее центре тяжести. Мы получим
Uik = U0ik-\-U§+..., (84.05)
где первые два члена равны:
Uik = у | (р vjvk - pik) (dxf, (84.06)
U{tl - {Xff ( (9vivk - Pik) Xj (dxf. (84.07)
В уравнении же (84.04) правая часть отлична от пуля во всем пространстве
и убывает только обратно пропорционально четвертой степени расстояния.
Поэтому существует только момент нулевого
порядка, и решение этого уравнения не может быть
представлено
в виде ряда, аналогичного (84.05).
Чтобы найти решение, введем в правую часть (84.04) выражение для
ньютонова потенциала в виде интеграла
u = l\x7=v\' (84-08)
Мы получим тогда формулу, которую можно написать в виде
дч- да
AVik = j Г' J J Р' (dx'f / (dx'f j 3ifc
dXj dxt dxi дхк d- t 1
дхк дх[ ' l г - r' i •
(84.09)
Из § 82 мы знаем [формулы (82.33) и (82.34)], что функция
lg s - ig (j г - г' | -|~ | г - т" | -f-1 г/ - г" [) (84.10/
удовлетворяет уравнению
1
{J Я4] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 397
Отсюда нетрудно заключить, что то решение уравнения (84.09), которое
всюду конечно и обращается на бесконечности в нуль, может быть
представлено в виде
=-5-T9J JV (dx')6 р" (dx";
)s о
d2lg s d2 Ig s d2lg s
1 dx' dx" dx\ dx"k dx[. dx"
(84.12)
Нас интересует значение этого выражения на больших расстояниях. Для
вычисления его мы должны взять разложение s и lg s по обратным степеням
г, справедливое при больших г и конечных г' и г". Мы имеем
S!=2r + ( |г._е'|-4-Д<) +
+ j (xix'k + x"ixD {у дг) + • • • > (84.13)
откуда
,y^lg2r + i(|r'-r^|-^±^) +
+ ? (х[. + х")\г'-т"У^г'' + Г*1 + 2х'х") -х{хк
|рг( ^fx'k~f^x'ixl-f-x"xk + x'ixl)-+ ••• (84.14)
Дифференцируя, получаем для симметричной и антисимметричной части второй
производной по х'. и х" выражения
I / | d2lgs \_ 1 /" XjXk\
- ' dx\ dx"k 1 dx" dx'k / 4г2 \ Л r2 )
(\ , xjjx'j+xju, ь{к (4 -4) (4
l,2r + 4r3 Д|г'-г"| |r' - r"|3 (84.1o)
1 (_iL itzA. (84.16)
2 \ dxi dxk dx{ dxk ) 4r3 | r' - r" \ 4r3 | r' - r" |
Здесь отброшены члены, убывающие быстрее чем 1/г2. .Полагая в (84.15) / =
/ и к = / и суммируя по /, получаем
(Д lgs
dx'; dx'l 2г
в согласии с точной формулой
1_(1+а<4+Ду_ ¦ (84.|7)
\ г 2г3 / I г' - г" |
398 ПРИБЛИЖЕННЫ!' РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VII
Подставим (84.15) и (84.17) в (84.12) и рассмотрим сперва члены,
убывающие как 1 jr. Обозначив соответствующие члены Vik через V4, получим
W* = - J / J Р' {йх')Л• (84-19)
В подинтегральной функции важна только симметричная часть (относительно
х' и х"). Заменяя поэтому множитель xj- xj на 2xj и выполняя
интегрирование по х", получаем
v": = }\xi^p(dx?, (84.20)
или, так как это выражение заведомо симметрично относительно I и k,
v* = i f (x* p {dxf (84>21)
(см. также лемму в § 79). Заметим, что это же выражение равно
vt, = - ^ f (} 8", (g,ad Uf - g (r) ) (**)", (84.22)
что и следовало ожидать, так как Vik удовлетворяет уравнению (84.04) и
объемный интеграл от правой части этого уравнения конечен.
