Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
При вычислении интегралов в правой части мы будем применять следующую
лемму:
Если функция 6 выражается через плотность а по формуле
- J/(lr - г7 |)р. (r')(dx'f, (79.21)
где / есть некоторая функция от расстояния |r-то имеет место соотношение
(79-22)
При этом предполагается, что формула (79.21) допускает дифференцирование
под знаком интеграла. Для доказательства достаточно подставить значение
производных от из (79.21) в (79.22) и обра-
интегралы уравнений движения системы тел
365
-1нть внимание на то, что в получаемом двойном интеграле подинте-Iральная
функция антисимметрична относительно координат обеих точек г и г'.
С аналогичным соотношением мы уже встречались при выводе формулы (71.14).
Припоминая формулу (77.07), мы можем написать
где UQ - U -)- б/д0б есть решение уравнения
а второй член в (79.23), в котором функция 11" имеет значение
представляет поправку на запаздывание.
Рассмотрим первый интеграл в правой части (79.20). Согласно только что
доказанной лемме,
Д U а - - 4iep,
(79.24)
(79.25)
Поэтому будет
(79.27)
С другой стороны, доказанная лемма дает при
соотношение
(79.29)
Используя его, получаем
(79.30)
и, следовательно
366 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ТВШКЕИИЯ [гл. VI
так что первые два интеграла в правой части (79.20) действительно
сокращаются.
Третий интеграл в правой части (79.20) равен нулю в силу доказанной
леммы, в формулах которой нужно положить
/- ; 9 = * = Uj. (79.32)
Наконец, последний интеграл в (79.20) равен нулю в силу уравнения
Пуассона для Ut. Таким образом, вся правая часть (79.20) равна нулю, и мы
имеем
-if j ~ (dx? = 0- (79.33^
tcoi
Если мы введем полный момент количества движения системы
М1к - ( (xfik - xkQJ (dxf (79.34)
(col
то мы будем иметь
Mtk = const. (79.35)
Напомним, что в этих формулах величина Ог имеет значение (79.18) и мало
отличается от плотности количества движения ркг.
Переходим теперь к формулировке закона сохранения энергии для системы
тел. В отличие от других законов сохранения, соотношение (79.06)
приводит, с принятой точностью вычислений, к формулировке этого закона
лишь в ньютоновом приближении. Более точная форма закона сохранения может
быть получена из рассмотрения лагранжевой формы уравнений для системы
тел. Это будет сделано, для не-вращающихся масс, в следующем параграфе.
Ввиду того, что главные члены (р и рт>Э в компонентах с2Тм и с2Г04
удовлетворяют уравнению неразрывности (79.01), соотношение (79.06), в
данном приближении, дает то же, что и соотношение
с2 f VJa0 (dxf - 0. (79.36)
Вводя сюда выражение (65.23) для расходимости, получаем
jt | c^(dxf-f [ ^ T(tm)(dx? = 0 (79.37)
и, используя значение (70.26) для Т00,
Ijpl1 <79:й>
Так как в отдельности
/И0 = J о (dxf - const, (79.39)
§ 79] ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 367
10 должно быть
Jt j р (¦? ^ + п " и) (dx)S + jр w(dx)3 = °- (79-40)
Чтобы получить отсюда закон сохранения в узком смысле, нам нужно и второй
интеграл в (79.40) представить в виде производной по времени. Это легко
сделать, если учесть соотношение
<""•">
которое вытекает из уравнения Пуассона для U. Вычитая из (79.40) деленное
на 2 равенство (79.41) и полагая
В = j о (1 т-! + И - j U ) {dx f, (79.42)
мы получаем
f = 0; В = const. (79.13)
Интегралы от отдельных членов в (79.42) представляют кинетическую,
упругую и гравитационную энергию системы тел в ньютоновом приближении.
Если не выделять из 79.38) члена (79.39) и положить
М= j о (1 +l(i^ + n - j б/)} (dxf, (79.44)
мы будем также иметь
УИ = const. (79.45)
Величина Л4 есть полная масса системы тел. Она равна
М - Л1° + ;§-, (79.46)
где М° и Е имеют значения (79.39) и (79.42).
Нам остается рассмотреть интегралы движения центра инерции системы тел.
Их можно получить, исходя из соотношений (79.08) Это сводится к
преобразованию выражения
?j'*H'+i(Wn-u)( ("*)" =
- J 'jVi {l +^(-5-t', + n-t/)(rf*)"4-
-ь J XtfVjWj (dxf 4- p- J x# (dxf (79.47)
3t>8 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ VI
при помощи уравнений (79.01)- (79.04). Подставляя в (79.47) значение (.Wj
из (79.02), получаем для суммы двух пос-ледних интегралов
1 Г 1 , й?П dU) , , .>
;.*J ' ~dt} ^ -
= - J Pi<°J (dx^S - i J * W (dx?- (79.48)
Используя обозначение (79.18), мы можем записать результат подстановки
(79.48) в (79.47) в виде
5? j х#{1 +^(^'2 + П ~ ^)] (dxf =
-= [ О, (dxf - ^ [ yvtU (dxf -f -j J '.it, (dxf f
+ b ,f > Щй - b ,f w W. ((tm)Л9)
Прибавляя сюда очевидное равенство
*i} **<"#-"}*•№ о"щ
можем написать вместо (79.49)
It j Х& {1 +Ь ("2 v* + 11 ~ У L/)l {dx? ^
~ J Gt(dxf - | J '.vJJ(dxf-\-~ \ r.Ui(dxf-f + <? J p )dxfdi ^dx^ ~~ 2c? J
Xi (p ~dt ~ U di) (dx)"¦ (/ 9 •51)
Эта формула справедлива, когда область интегрирования охватывает одну или
несколько масс. Если же интегрирование распространено на все бесконечное
пространство, то в силу уравнений Пуассона для U и UL будет
J r.v,U (dxf - J '.и^ (dxf (79.52)
и, кроме того,
J •' dx^di (йхУ ~ 2 J Xi (p IF -" U dt) (dx)i' (79.53)
Последнее равенство проще всего проверить, заметив, что функция
