Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
не имеет место характерная для ньютоновой теории аддитивность
кинетической и потенциальной части функции Лагранжа.
Полная функция Лагранжа, согласно (78.03), равна сумме выписанных здесь
выражений (78.04)-(78.09) и (78.15). Она дает, с принятой степенью
точности, уравнения поступательного движения с релятивистскими
поправками.
Что касается уравнений вращательного движения, то они могут быть получены
из соотношений (70.28), которые имеют вид
Б ньютоновом приближении эти соотношения дают, как показано в § 72, закон
изменения момента количества движения
[формулы (72.07) и (72.13)].
Релятивистские поправки к ньютоновым уравнениям вращательного движения
могут быть получены путем более точного вычисления левой части
соотношений (78.16). Эти вычисления могут быть проведены по образцу тех,
какие были проделаны в предыдущих параграфах для поступательного
движения, и не представляют иных затруднений, кроме сложности выкладок.
Но так как релятивистские поправки к вращательному движению небесных тел
играют совершенно незначительную роль и еще труднее наблюдаемы, чем
поправки к их поступательному движению, мы их здесь вычислять не будем.
§ 79. Интегралы уравнений движения системы тел
Подобно системе частиц, взаимодействующих через посредство
электромагнитного поля (§§ 26 - 28), система тяжелых тел обладает тем
свойством, что ее уравнения движения допускают десять классических
интегралов (констант движения), а именно: интегралы количества движения и
энергии и затем интегралы момента количества движения и движения центра
инерции.
Мы выведем здесь общие выражения для констант движения в виде
определенных интегралов. При этом мы будем здесь (как и
- J g(x^Xk^ 0.
(78.16)
(78.17)
б I]/К юго тела, а именно
362
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
в начале § 71) пользоваться, для внутренней задачи, общими уравнениями
движения упругого тела в нерелятивистском приближении. Выпишем их здесь
еще раз. Мы имеем уравнение неразрывности
и, наконец, соотношение для упругой потенциальной энергии П
Предположения, что каждое тело вращается, как твердое, мы пока вводить не
будем.
Для получения констант движения можно исходить из тех соотношений,
которые вытекают, как показано в § 70, из условий гармоничности. А
именно, соотношение
проинтегрированное по времени, дает нам три интеграла количества
движения, а соотношение
также проинтегрированное по времени, дает интеграл энергии. Аналогично,
соотношения
дадут три интеграла момента количества движения, а соотношение
[в котором, впрочем, равенство нулю второго члена вытекает уже из
(79.05)] приведет к трем интегралам движения центра тяжести системы масс.
Начнем с вычисления количества движения. При выводе закона сохранения из
(79.05) мы можем воспользоваться результатами § 75.
др . д (pv4) _ п dt ~г дх( - и'
(79.01)
собственно уравнения движения
pw. -г
dU __ dpik
(79.02)
dxi дхк '
где ускорение равно
(79.03)
(79.04)
(79.05)
( + сЫ
(79.06)
(79.07)
(ОЭ
§ gxFJ*\dx? + xо jg-VerV.*)3-0 (79.08)
§ 79] ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ
363
Обобщая несколько формулу (75.31), положим
pi = J { № [l + "7 (jv* + П + 3/v)] - ±P(kvk -
(со)
и составим производную от этого выражения по времени. На основании
(73.01) получим прежде всего
Но вследствие того, что все интегралы в (79.10) взяты по бесконечному
объему, к ним применимы соотношения (75.24) и (75.29), согласно которым
так что 1\ есть константа движения. Этот результат обобщает формулу
(75.34) на общий случай системы упругих тел, взаимодействующих через
посредство поля тяготения.
Переходим теперь к формулировке закона сохранения момента количества
движения такой системы. Вводя в соотношение (79.07) выражение (70.22) для
g'vaTai и используя формулы (70.26) для составляющих тензора массы,
получим:
где
и функция U* удовлетворяет уравнению
(79.12)
(79.13)
(79.14)
Отсюда следует, что
(79.15)
ж\
Я
+ + П + 3/7j (.хрк - xkvj)
(79.16)
364 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
где мы положили для краткости
dU{ _ dUt , dU( .
ЧГ-^Г~гиЛ*7- (79Л7)
"о
Если распространить в (79.16) все интегралы на область, занятую одной из
масс, получится обобщение формулы (72.04), дающей закон изменения момента
количества движения в ньютоновом приближении. Нас интересует здесь полный
момент количества движения, поэтому интегралы должны быть распространены
на все бесконечное пространство.
Введем обозначение
с \
(1г"з+II Д-ЗД)
1 4 ,, 1 dm
с2 са i>L't ' dxidt '
(79.18)
при помощи которого формула (79.09) для полного количества движения
напишется
Р, = J* О, (d*)3. (79.19)
Тогда соотношение (79.16) можно представить в виде
? j {хрк - x.Gi) {dxf = J (x, _ Xk Ц:) 3 {dxf
i л \ i dm от \
c2 dt J p dxk dt Xk dxt dt ) ( )
4 Г t W j ot/, \ 4 [*
- J - Xk -d~^7) (dxf - J p - vkUj) ("/.v/.
(79.20)
Докажем, что в правой части первые два интеграла сокращаются, а остальные
два равны нулю в отдельности, так что вся правая часть равна нулю.
