Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
внешний потенциал U(a\ а именно к следующему:
(j J _ U{a)) {dxf + J p ^ {dxf = 0. (80.17;
it) pi
id) (a)
Подставляя сюда значение Uw {г) из (71.27) и используя уравнения
поступательного и вращательного движения (71.35) и (72.32), убеждаемся,
что уравнение (80.17) выполняется.
Таким образом, необходимое для выполнения условий гармоничности
соотношение (80.08) удовлетворяется уже в силу остальных соотношений вида
(70.21), подобно тому, как в механике материальной точки уравнение,
выражающее сохранение энергии, удовлетворяется в силу уравнений движения.
Аналогично можно проверить, что уравнений поступательного и вращательного
движения достаточно для выполнения соотношения (79.51), а значит и для
выполнения закона движения центра инерции.
Как мы уже упоминали в § 79, с принятой точностью вычислений интеграл
энергии получается из (79.06) лишь в ньютоновом приближении. Но в случае
не-вращающихся тел со сферической симметрией нетрудно написать интеграл
энергии и в следующем приближении. Так как в этом случае движение
сводится к поступательному,
для которого уравнения уже написаны в лагранжевой форме, то
для
вывода интеграла энергии можно исходить из функции Лагранжа,
рассмотренной в § 78. Вводя эффективную массу
ma=Ma+j (80.18)
мы будем иметь, по формуле (78.03):
L = K-\-Kl - Ф -Цг. (80.19)
Здесь, согласно (76.19),
К= + h (80.20)
а а
К имеет прежнее значение (78.05), в котором можно заменить массы Ма, Мь
эффективными массами та, ть\
*. = a S riSSr <3"1+Зй- 8"А)+
' 4с*
а, Ь
+ (80<21) о, Ь
§ 80] ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ 373
Ф есть ньютонова потенциальная энергия (с эффективными массами)
<¦"*>
а, Ь
Вследствие (78.13) это выражение включает в себя члены Фх и Ф.3 (впрочем,
ввиду сферической симметрии Ф,3 = 0). Наконец, 4' имеет прежнее значение
(78.15), в котором также можно заменить массы их эффективными значениями:
У)* - t утптъ(та + ть) , f у
4с* 2d I а - Ъ |2 Т6, ^ W.X
u a, b u a, b, с
'"'(la - b] • | a - c| + Го-с||Ь-П + ]c - a]-|c - b])' (80-23)
По формуле
- L = E (80.24)
a 1
получаем интеграл энергии (в нерелятивистской нормировке):
Е=2 т т-"< ¦+Ь 2 т т* +^.+ф• (8°-25^
а а
Остальные интегралы движения также легко получаются из функции Лагранжа.
Мы имеем интегралы количества движения
= (80.26)
а
где
rs 3L • ( . 1 '2 1 VV '\mnrrih 1
т7=ьт+
i ^ bj) 1 VI / (a# bj) (ctji bfc) Г)ТЧ
+ ----!a - Й|-------2$ 2d WaKbbk ----------------- * (m'27)
b b
интегралы момента количества движения
2 {а>Рак - акР ai) = Ма (80.28)
а
и интегралы движения центра инерции *)
MXt - /у = Ki - const, (80.29)
*) Константы К( не следует смешивать с величинами К\ и К% входящими в
функцию Лагранжа.
374
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
где
ЛЩ.
причем
^ {м-а + 2с3 т'а°* 2с2 ^ I a - b&|) ' (80.30)
" = SK+i """")-2>?пг4т <80-31>
a a,b
есть полная масса системы.
Более точное значение полной массы есть
м = (80-32)
где Е имеет значение (80.25).
§ 81. Задача двух тел конечной массы
В случае двух тел получаемые из функции Лагранжа (80.19) уравнения
движения могут быть проинтегрированы. Здесь удобнее перейти к новым
обозначениям, более употребительным в механике. В качестве индексов при
массе мы будем писать не буквы а, b (обозначавшие у нас также координаты
масс), а числа 1 и 2; координаты массы 1 будут теперь xt, yv zv а
координаты массы 2 будут х.2, у о, z2.
Мы будем употреблять также трехмерные векторные обозначения гг и г.2. В
новых обозначениях функция Лагранжа напишется:
L = -g- щгI -f- ЩГ-г -f- (r()2 + jp- (r^)J -f-
+ 2^]Т^Г(^+Зг1-7г1.г2)-
1 чтхт2 2^1Г1- га|з
'|ТГ- Гг ,- Ж" lr,-rap -¦ (Я101)
а интеграл энергии примет вид:
E = -Jmth + -J m-ir> +(И)3 + 5 (rl)2 +
73 (г, • (rt - г2)) (га • (Г, - Го)) 4
§ 81] ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ КОНЕЧНОЙ МАССЫ 375
Д1ы перепишем также в новых обозначениях формулу (80.27) для количества
движения одной из масс. Составляющая Р{х равна
, 7 fmxт2 (хг - х2) Tm,m2 (х± - х2) ,0, П11
+ 2^ Гп-га|---------------Га))- (81-03)
Количество движения другой массы получится отсюда перестановкой
значков (1) и (2), а полное количество движения будет равно
Рх = Р'х Рх\ и т. д. (81.04)
Выпишем одну из составляющих полного момента количества движения,
например
М,.у = XiFf -у^ 4- ЧР(у -У^Рх.
Мы будем иметь:
(81.05)
Мху
= -УЛ) (*1 + ^ т3 + I Г~^) + + (х2У2-y2xj (ma + ^ щrl + ~ ) ¦
- 2с^Тг"-г7Г ('Xl^2 ~ У1*2 + Х'2У1 ~ ууС^ +
. чт^т2
2с3 | Г1¦
Г^гт ((fi + Го) • ("1 - fj)) (х^а - (81 -06)
Если мы введем координатную систему, связанную с центром инерции, то мы
можем интегралы центра инерции написать в виде
*л(' +з5-"17"й)+*л(' +"-"кЗаН- (81'07)
Введем теперь координаты центра инерции в ньютоновском смысле
/я, г, -f m2ra
0 OTi -j- /Я2
а также относительные координаты
1 1 Г2*
г = г,
Мы будем тогда иметь
, т0 I Г1 = го + ~ г>
Го= Г,
т0
Тлг
0 т0 '
где
т0 - тг~f- дг2
(81.08)
(81.09)
(81.10) (81.11)
376
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
есть полная масса. Мы введем также обозначение
