Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
на и:
+ 2imo(l+l(4-3?) ?")•" +
3/ rna \ fm'
+ -VL(2-^)",+ V I**- (81-44)
При in* = 0 это уравнение переходит, с требуемой точностью, в (58.36).
Чтобы удобнее было исследовать это уравнение, мы введем, вместо
постоянных интегрирования Е0 и ;х, две новые постоянные акр, где
Eo = ~l?> (** = №>. (81.45)
380 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Кроме того, положим, в согласии с (81.30),
(tm) = Л (81-46)
В ньютоновом приближении величины аир представляют большую полуось и
параметр эллипса (мы ограничиваемся здесь случаем финитного движения). В
новых обозначениях уравнение (81.44) напишется:
/du\? 1 , а - За" ,
\flff ) ар ' 4 а*р '
- - - + 3-) ф Н- а*"в. (81.47)
1 Vjv ар ] ар} \ р 1 р)
Многочлен в правой части (81.47) имеет (при а > р) положительные корни И]
и и.2, близкие к корням уравнения
L-l2 а -я2 = 0, (81.48)
ар 1 р к '
которые равны
где
0 1 в 0 1 6 /0 1/1 rv\
Ul - -L- u-> = , (81.49)
p - p
1 - e2 = ?.t (81.50)
и, кроме того, большой корень и3, для которого нетрудно найти соотношение
а*а8= 1 - (81.5!)
Поэтому дифференциальное уравнение (81.47) можно написать в виде
(г*У = (Wt - "я) (1 - ~~ (r)*м) • (81 -52)
Произведем подстановку
а = "i+bj + "цр CQS (8] -53)
Уравнение для ф будет
(d*b\% . 6а а' , /о, сг / \
-Ч =1----------------cos б. (81.54)
d?/ Р Р '
В поправочный член мы ввели приближенные значения корней из (81.49).
Отсюда
d,J? 1 i За | а е кс\
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ КОНЕЧНОЙ МАССЫ
381
Изменению г от наибольшего до наименьшего значения и обратно
соответствует увеличение 6 на 2т.. За это время угол <р увеличится
несколько больше, чем на 2т, а именно на 2л-f-Дср, где
Д<р = ^. (81.56)
Формула эта совпадает с формулой (58.43), которая дает смещение перигелия
за один период обращения, но вхс(дящие в нее постоянные имеют несколько
иной смысл. При данном параметре р смещение зависит только от суммы масс
обеих компонент системы (двойной звезды). Из постоянных интегрирования в
выражение для смещения входит только момент количества движения.
Наличие кубического члена в дифференциальном уравнении (81.47) приводит к
тому, что орбита относительного движения будет уже не прецессирующим
эллипсом, а прецессирующей кривой более сложного вида, хотя и мало
отличающейся от эллипса [1Э].
Г ЛАВ А VII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ, ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
§ 82. Потенциалы тяготения для невращающихся масс (пространственные
компоненты)
Потенциалы тяготения были определены нами в предыдущей главе лишь с той
точностью, с какой они были нужны для вывода уравнений движения системы
тел. Мы займемся теперь более точным определением потенциалов тяготения,
но ввиду сложности задачи ограничимся случаем невращающихся сферически
симметричных масс.
В § 67 были приведет,! формулы
Й00 = С 1 С3 С0 ' (82.01)
йог = | 45г с3 1 съ ' (82.02)
Й№ = с§. ! С01к^г съ , (82.03)
в которых U есть ньютонов потенциал, a Ui- вектор-потенциал тяготения;
члены, содержащие S, Siy Sik, являются поправочными. Этих поправок мы в
отдельности не вычисляли, так как для вывода уравнений движения
достаточно было знать, кроме вектор-потенциала Uit величину
U* = U + ~(S+Skk-2U^) (82.04)
[формула (67.11)], удовлетворяющую, согласно (68.30), уравнению -= -
4*Т(с27чю-1-Г**). (82.05)
Теперь мы вычислим и поправочные члены, причем будем исходить из
выведенной в § 68 приближенной формы уравнений Эйнштейна
(82.06)
$ 82] потенциалы тяготения для невращающихся масс 383
Рассмотрим сперва уравнение для <\ik. Мы сохраним в нем члены
четвертого порядка относительно 1/с, а члены более высокого по-
рядка будем отбрасывать.
Согласно (66.07), мы можем тогда положить
- gTik = р Vivk-p.k> (82.07)
а в выражении (68.16) для Nik взять главные члены
№* = -?(}*, (82.08)
где мы положили, аналогично (71.16),
(82.09,
Вторую производную по времени в уравнении для $к мы можем отбросить.
Вводя вместо ${к выражение (82.03), мы получим, после
умножения на с4 и переноса члена Qik в правую часть, следующее
уравнение для Sik:
д% = Qjk - 4frjVjvk -- pik). (82.10)
Напомним, что вектор-потенциал тяготения (/,• удовлетворяет уравнению
Д(/.г = - 41г^рг/,- (82.11)
и что в силу уравнения Пуассона для ньютонова потенциала U мы
имеем
Ш?=4*1Ржгг- (82Л2)
Поэтому из уравнений (82.10) и (82.11) следует
4(&'+4Й)=-МФ+^1"
и в силу уравнений движения сплошной среды, написанных в форме
(66.13),
д(^ + ёг) = 0, (82Л4)
Так как последнее уравнение имеет место во всем пространстве, то будет
ж+щ = 0' (8215>
т. е. будет выполняться и условие гармоничности. Получив явные
выражения для Sik, мы сможем проверить выполнение условия
(82.15) и прямой подстановкой.
384 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
Функции Sjk мы будем искать в виде
S-ik ~ U ik~\~ Vik > (82.16)
где Uik и Vik удовлетворяют уравнениям
bUik = - 4itf (рг/'п* - pih), (82.17)
Д Vih = Qih. (82.18)
Подставляя в формулу (82.09) для Qik значение ньютонова потенциала
U = ^ua, (82.19)
О
мы можем написать
