Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
масс, вытекающие из условий
0, (78.01)
(а)
которые, в свою очередь, получаются из условий гармоничности (см. § 70)
Уравнения были выведены в предположении, что каждая масса вращается
вокруг своего центра тяжести наподобие твердого тела.
Уравнения движения приводятся, как мы видели, к лагранжевой форме
LIHl д-к. - о, (78.02)
dt dat dai
где функция Лагранжа получается подстановкой в (77.47) найденных выше
выражений для К, Kv К2, Ф> Ф(, Ф2> Ф [формулы (76.15),
(76.36), (76.37), (71.32), (77.41), (77.42), (77.32)] *).
Выпишем эти формулы еще раз. Мы имеем
L = К+ Кг + Ко - Ф - Ф, - Ф, - ф\ (78.03)
где отдельные слагаемые имеют следующие значения:
К=^{^МЛ+Та) +
а
+ -?Г 2(тЖ" 2' 4^ + 4%). (78.04)
а
Здесь первая сумма представляет обычную, ньютонову, кинетическую энергию
поступательного и вращательного движения системы тел. (При составлении
левой части уравнений Лагранжа член Та, впрочем, не существен). Вторая
сумма дает поправку к "кинетической" (т. е. зависящей от скорости) части
функции Лагранжа. При отсутствии вращения эта поправка сводится, согласно
(76.19), к обычному поправочному члену, известному из механики
материальной точки; при наличии же вращения эта поправка содержит также
"смешанные" члены, зависящие как от скорости поступательного движения,
так и от угловой скорости вращения тела. От положения центров тяжести тел
величина К не зависит.
О Для пе-нращающихся масс приведение к лагранжевой форме было впервые
выполнено П. Фнхгенгольцем [-*1'].
§ 78]
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
359
Выпишем теперь значения и К2. Согласно (76.36) и (76.37) мы имеем
Эти члены зависят как от координат, так и от скоростей и представляют как
бы результат взаимодействия кинетической и потенциальной энергии. При
этом, как мы уже заметили в § 76, величина Ki однородна и квадратична в
скоростях at поступательного движения, а величина К.2 билинейна в
скоростях поступательного движения и в угловых скоростях.
Следующий член в функции Лагранжа
представляет ньютонову потенциальную энергию системы тел. К нему
присоединяются две поправки, Ф, и Ф2, где, согласно (77.41) и
Величина Ф! может быть истолкована как результат замены в ньютоновой
потенциальной энергии Ф или, точнее, в ее главном члене*)
*) В формуле (78.07) для Ф поправочный член -¦ порядка 12/7?2 по
отношению к главному, вследствие чего релятивистские поправки в
поправочном члене будут такого порядка, каким мы уже пренебрегаем.
Поэтому безразлично, вводить ли их в полное выражение дли Ф млн только в
главный член Ф0,
а, Ь
(78.05)
к* = w 2 (3*i - 4"<> -
а, Ь
с
1 V
2 jU\a - bi
da-i bait | а - b |
д2 1
(78.07)
a, b
(77.42),
- 2c2" ^ -|- $aMb) |-j ,
a, b
(78.08)
(78.09)
1 Y 'jMgMb
2 ±U\fi - b\
(78.10)
a, 6
360
ЗАКОН 1 ИГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
массы Мл па эффективную массу Мп-\~оМа, где
М*" = -Ь0. (78.11)
Величина же Ф._, может быть истолкована как результат смещения
центра тяжести массы (а), а именно замены at на а;-)-оа;, где
,7R'12)
Действительно, мы имеем, с точностью до малых величин,
- 4 У lSi!k+^sll^JL±2^L = Ф + Ф + Фо. (73.13)
2 w {а -оа - b -- ob | 01 11 - v '
а, 6
Заметим, что входящая в формулу для эффективной массы величина ;а равна
собственной энергии тела (а), которая слагается из кинетической энергии
вращения вокруг его центра тяжести, из упругой энергии тела и из
гравитационной энергии составляющих его частиц. В самом деле, можно
показать, что выражение
= Та + J Г'П {dxf - 1 f г-на {dxf (73.1 1)
(a) un
для собственной энергии переходит, при использовании уравнения Ляпунова и
соотношения (73.26), в формулу (77.10) для ;а.
Следует ожидать, что весомость собственной энергии тела влечет за собой
не только изменение его эффективной массы, но и смещение его центра
тяжести. Однако, ввиду того, что кинетическая энергия вращения тела
вокруг его центра тяжести относится ко всему телу в целом и не связана с
отдельными его частицами, для величины смещения центра тяжести трудно
указать априори надлежащее выражение. Вычисление же дает для него
величину (78.12), где -ni имеет значение (77.12).
Нам остается кыписать последний член в функции Лагранжа. Входящие в него
три (различных) радиуса-вектора удобно обозначать буквами а, Ь, с;
поэтому для скорости света мы примем использованное в § 77 обозначение
са. Согласно формулам (77.30), (77.31) и (77.32), мы имеем
_ U- = -Д V IL у
I-""•г.
4(la -b|ja -с 1 Ь - с 11 Ь - а| 1 |с - aJ | с - Ь [)* (.78.15)
Здесь последняя сумма дает тройное взаимодействие масс.*) Если,
*) В тройной сумме значки удовлетворяют неравенствам афЬ, Ьфс. с-+--а\ во
всех двойных суммах должно быть афЬ.
§ 91
ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ
361
как мы это делали выше, называть члены Кх-\~ К.> "кинетически-но-
тенциальной" частью функции Лагранжа, то можно величину \F называть
"потенциально-потенциальной" ее частью. Эти названия подчеркивают то
обстоятельство, что во втором приближении теории тяготения Эйнштейна уже
