Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
337
Задача состоит в том, чтобы при заданной плотности р найти форм)' тела,
т. е. форму области интегрирования (а). Эта форма должна быть такова,
чтобы в любой точке внутри тела выполнялось условие
(73.21), т. е. чтобы значение левой части (73.22) само зависело только от
плотности (или от того параметра, от которого зависит плотность). В
частности, на поверхности тела должно быть у. - const и Vn = const.
Если тело не вращается (ш,7,. 0), то вс,ем условиям, очевидно,
удовлетворяет сферически-симметричное распределение плотности при
сферической форме тела. В случае вращения (со к у- 0) нахождение формы
тела представляет чрезвычайно трудную математическую задачу, которой
занимались многие математики. Наиболее полные результаты были получены А.
И. Ляпуновым, который, для вращающейся неоднородной жидкости, исследовал
фигуры равновесия, близкие к эллипсоидам, причем рассматривал также
вопрос о их устойчивости I21,22]. Мы будем поэтому называть уравнение
(73.22) уравнением Ляпунова.
Если условие (73.20) или (73.21) выполнено, то давление р может быть
найдено из уравнения
Аддитивную постоянную мы определим из условия, чтобы па поверхности тела
давление р обращалось в нуль.
В выражения для тензора массы, а также в уравнения (73.01) и
(73.02) входит упругая энергия П единицы массы, определяемая, согласно
(30.11), по формуле
Вследствие (73.23), входящий сюда интеграл ест., как раз Va или величина,
отличающаяся от Va на постоянную. Эту постоянную можно определить так,
чтобы было
Это выражение будет использовано при выводе уравнений движения из
интегральных соотношений (73.01).
§ 74. Вычисление некоторых интегралов, характеризующих внутреннюю
структуру тела
Для вывода уравнений движения из интегральных соотношений
(73.01) необходимо вычислить ряд интегралов, значение которых зависит
от распределения плотности внутри тела и вообще от его
dp - у d Г,
(73.23)
или
а
(73.24)
(73.25)
Р ~ Р (Уа II).
(73.26)
22 • В. А. Фок
338 закон тяготения и законы движения |гл. vi
внутренней структуры. Чтобы не прерывать в дальнейшем изложения, мы
сосредоточим вычисление таких интегралов в этом параграфе.
Начнем с интегралов, зависящих от моментов инерции тела и от его угловой
скорости. Обозначим через Q потенциал центробежных сил
= -j (r)Тк(r)Тк Од - а>) (xj ~ aj)¦ (74.01)
Уравнение Ляпунова (73.16) примет вид
ua+Qa=Va. (74.02)
Рассмотрим интеграл
Ta=f? QJdxf. (74.03)
Мы имеем, очевидно,
Гв = 1 соЙЦЗД, (74.04)
так что Та есть кинетическая энергия вращения тела (а). Рассмотрим также
моменты первого порядка с весовой функцией рйа, т. е. величины
Т*Г-= f ^aiXi-aJidxf. (74.05)
При помощи обозначений (72.22) мы можем написать
(74.06)
Эти величины равны нулю, если тело имеет три плоскости симметрии.
Рассмотрим теперь интеграл
-a = i\' Waidxf, (74.07)
который представляет энергию взаимного притяжения частиц, составляющих
тело (взятую с обратным знаком), а также моменты первого порядка
Bai = J f 0*4 - a>,{dxf, (74.08)
Используя уравнение Пуассона (71.12), можно представить вели-
чину га в виде:
-а = Щ [ (grad иаТ (dxf • (74.09)
(СО)
(Аналогично могут быть преобразованы и моменты га1, а именно:
гаг = щ ( (grad "J2 (х, - яг) ((7х)8. (74.10)
§ 74] ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ 339
Припоминая определение (71.16) величин qff
№ = } (grad arf - g ^, (74.11)
причем
<7$ =4 (grad a J2. (74.12)
мы можем вместо (74.09) и (74.10) написать:
[-^q)2{dxf, (74.13)
Ат.
(со)
я" J
(оо)
Эти интегралы представляют частные случаи более общих
qti{dx)\ (74.15)
(сю)
Bf\i = ±- Г qff (xt - a,) (dxf • (74.16)
Ь'| J
(со)
Помимо рассмотренных выше интегралов
*а = В$; aai = M%ft, (74.17)
через величины (74.15), (74.16) могут быть выражены и другие нужные нам
интегралы.
Рассмотрим интеграл по объему от давления р\
1= Г p(dxf. (74.18)
Так как давление р обращается в нуль вне массы, то, интегрируя по частям,
мы получаем:
3/=- j (x^a^fdxf. (74.19)
(Я) '
Воспользовавшись соотношением (73.19), мы можем также написать 3/ = - J
(х, - а} р ^ (dxf. (74.20)
(о) *
Но из уравнения Ляпунова следует, в силу того, что Qa есть однородная
квадратичная функция от разностей х,-- ait
= ^ -"*)§: +22"- <74-21)
22*
340 закон тяготения и законы движения [гл. vi
С другой стороны, согласно (71.18), мы имеем
диа 1 dqfjl
Рй7=4щ-5Гк' <74-22)
Подставляя (74.21) в (74.20) и пользуясь (74.22), будем иметь:
3/ - - щ J (*, - ",) Щ (dxf - 2 J pQe (dxf. (74.23)
Интегрируя по частям и пользуясь выражениями (74.03) и (74.13) для Та и
еа, получим окончательно
3 [p(dxy> = za- 2Т". (74.24)
(а)
Эта формула показывает, что, когда тело вращается, среднее давление
внутри него будет меньше, чем при отсутствии вращения, что и следовало
ожидать.
Аналогично получается соотношение
2 J Р ¦ - "<) (dxf = r\ai - Tai, (74.25)
(U)
где
-8^j {(xk-~al!)qi^-jr(xi---ai)qiS}(dxf, (74.2G)
CO
или, в обозначениях (74.16):
^ = + (74.27)
Формулы (74.15) и (74.16) дают представление величии Вы1 и В{?лг в виде
