Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
345
При этом будет
(75.29)
Мы рассмотрели все члены правой части (75.06). Из них выражение (75.07) и
последний член правой части (75.23), имеющие вид производной по времени,
мы перенесем налево, после чего уравнения движения (75.06) примут вид
Величину Pai можно, по аналогии с ньютоновой механикой, толковать как
составляющую количества движения массы (а). Тогда величина Fai будет
составляющей силы, действующей на эту массу. Такое толкование, вполне
естественное в ньютоновом приближении, является здесь, впрочем, несколько
искусственным, поскольку количество движения Ра1 зависит, согласно
(75.31), не только от внутренней структуры тела и его скорости, но и от
потенциалов U,
Выделим в выражении (75.31) для Pai члены, зависящие только от внутренней
структуры.
Из уравнений
которым удовлетворяют внутри массы (а) величины иа, uai, вытекает
равенство
(75.30)
где
(о)
И
(75.32)
(75.33)
а
и, следовательно,
2 Pai - Pi - COIlSt.
(75.34)
а
U{ и W.
а
(75.35)
(75.36)
346
ЗАКОН ТЯГОТГННЯ и з\коны движения
Г Г. I. VI
Используя это равенство, мы можем написать выражение для Pai в виде
^ = JV< 4 ^ м (у ^ 4- и - "") + ^ т - ? {dxf +
т
+ Jr J {dxf - ± J о иГ {dxf - ± \ р (1/х)". (75.37)
(О) к; I (а 1
Здесь первый интеграл зависит только от движения и от внутренней
структуры тела (а), тогда как остальные три зависят также и от
потенциалов внешнего поля, т. е. от взаимодействия тела (а) с другими
телами. Вычислением этих интегралов мы займемся в следующем параграфе.
§ 76. Вычисление количества движения во втором приближении
В предыдущем параграфе мы привели уравнения движения к виду
dP •
*W- = FaO (76-01)
где количество движения Ра1 и сила Fal выражены в виде интегралов (75.31)
и (75.32). Нам надлежит вычислить эти интегралы и выразить их через
параметры, характеризующие движение тел как целых.
Для вычисления Ра1 воспользуемся представлением этой величины в виде
(75.37). Сообразно разложению количества движения на собственное и
происходящее от взаимодействия, напишем
Рat - (Pai)oo6eib "f (^"Овзаи'-. (76.02)
{Pnif обе(tm) = ( Wi {dxf -f- J Vi (i v* + рП - p"u 4- p} {dxf -
(a) (a)
<76'03>
(a)
(Pai)(tm)(tm) = Jf jr^m (dxf - ~ j {dxf - I. J p d^{dxf.
4 (О) Д) (76.04)
Вычислим сперва интегралы, входящие в (76.03). Первый из них дает
количество движения в ньютоновом приближении: он равен
j" {dxf - М0а^ (76.05)
4j 76] ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 347
и согласии с (71.08). При вычислении второго интеграла мы будем иметь в
виду вытекающее из (73.26) и (74.02) соотношение
рП - Г'""Ч- Р = №а> (76.06)
а также формулу
~2 v<i - ак "Ь ak<"jk (Xj - a-j) -J- Qa, (76.07)
которая следует из'выражения
v i = ai + "n (xj - aj) (76.08)
для скорости внутри тела (а). Второй интеграл будет равен
J i>t,<(-§-(r)9 + Qa)(d*)8 =
(О)
= (-iМаЩ ¦ at + 2Тащ + (о%V$Cak + 2о$Taj, (76.09)
если воспользоваться обозначениями (74.03) и (74.05). Последний интеграл
в (76.03) может быть преобразован к виду
-1 f = I № iHk Wx)8- <76-10)
(a) ta
Применяя затем формулы (74.33) и (74.34), получим
~ ( Р writ ~ ?'г°; ~ В^ак + (76.1 1)
la) {
Собирая все три интеграла вместе и вводя обозначения
: (2 Та + г J ол + со- Bt, (76.12)
zf = 2*f}Taj + - <"(76.13)
получим для "собственной" части количества движения выражение
{Рад совотв = Maht + (I Ма'аЦ щ ^ (Z$ak + Zf). (76.14)
Здесь первый член представляет, как мы уже отмечали, ньютоново выражение
для количества движения. Второй член дает известную из механики
материальной точки добавку к нему. Последний член можно толковать на
основе понятия о тензоре эффективной массы (матрица коэффициентов при
составляющих скорости в выражении для составляющих количества движения).
348
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Если мы положим
*=2(тж^+7'0)+
а
~Г 2 [if ^а'к^2 ^ ^iudfik + ^Pat j , (76.15)
а
то мы будем, очевидно, иметь
т \ дК
(радооб = -г- ¦ (76.16)
Этим уравнением величина К определяется с точностью до функции,
не зависящей от ач. Мы добавили в (76.15) члены ^Та для того, чтобы в
нерелятивистском приближении величина К переходила в обычное выражение
для кинетической энергии системы тел.
Заметим, что для невращающихся тел со сферической симметрией мы имеем
Zf = 0. (76.17)
Поэтому, если мы введем эффективную массу
та - Ма + га, (76.18)
то будет, с точностью до малых величин,
К = S i +i 2 i (7tJ •11)}
a a
как для материальной точки. Формула (76.18) показывает, чго тензор
эффективной массы приводится, в данном случае, к скаляру.
Переходим к вычислению той части количества движения, которая зависит от
взаимодействия. Оценим прежде всего порядок величины этой части. Нетрудно
видеть, что все три члена в (76.04) будут иметь один и тот же порядок
величины, а именно
{рад^,=0{м?), (76.20)
где q-неоднократно использованная нами величина порядка скорости. При
вычислении интегралов в (76.04) мы сохраним, помимо главных членов,
которые будут только чго указанного порядка, также и члены порядка L/R по
