Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
отношению к главным; члены же более высокого порядка относительно L/R мы
будем отбрасывав.
Для вычисления интегралов с требуемой точностью в выражении (71.27) для
ньютонова потенциала достаточно сохранить первый член и писать
и'а\г)=Ут}%--
4 jmU 1 Г - 0[
U
§ 76]
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
349
В выражении
U?\r)='?t J
Ь (Ь)
(76.22)
для вектор-потенциала следует сохранить, кроме главного, еще один член.
Пользуясь формулой (71.25), получаем
Мы сохранили здесь, помимо главного, еще один член, чтобы обеспечить
надлежащую точность в выражении для производной
от W{а) по времени.
Подставляя в первый из интегралов (76.04) разложение {/'"'(г) в ряд
Тейлора вблизи точки хк = ак
будем иметь
3 j rjViUia' (г) (dxf = 3Мак,и(а) (а) + 3 <$'/}"' (д-~)а. (76.27)
(а)
Сюда нужно подставить выражение для ньютонова потенциала внешних масс из
(76.21). Тогда получится
Наконец, функция
(76.24)
с требуемой точностью будет равна
6 ь
и"'(г) = и<"'(&) + {хк-ак)
(76.26)
350 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Аналогично вычисляется второй интеграл в (76.04). .Мы имеем
- - 4 J oUf (г) (dxf - - 4 MJlf (а) (76.29)
(а)
г((0.
и после подстановки выражения (76.23) для I)i - 4 Г pU\"(r)(clxf =
S' -тёйг1 + ? <76'30)
(О)
V' 4-jMaMbb,
44 I а - b I
ь b
Наконец, последний интеграл в (76.04) равен
{а)
Дифференцируя (76.25) по времени, получаем
dW(а) lv1' м i, б|г - Ь| , Iv1' ;{Ь)дЦт - Ь\ ,-,с or>N
-§г = ~т1 ^-Н 4 24 ^ -ШдХи • (7б-32>
ъ ь
Членами с третьими производными от jr - b | мы должны здесь, с принятой
точностью, пренебречь. Величина /(Д' имеет, согласно (72.16), значение
i?k = + (76.33)
Дифференцируя (76.32), получаем
d'2Wia) _ lv1' Mh 1 г - Ь1 , 1 V1' ИЫ I г - b| "
dxfdt 2 ъи дх(дхц 4 ^4 ^ Jk дх(дх^хк ^ ^
ъ ъ
и, следовательно,
С д9й7(а)
¦ (dxf ¦¦
J ' dxt dt
=42' - т 2' (7°5)
b b J
Согласно (76.04), деленная на с* сумма выражений (76.28),
(76.30) и (76.35) дает величину (Яп1)взаим.
Введем две функции, Кх и /ф>, из коих первая, Kv однородна и квадратична
в скоростях и однородна степени (- 1) в координатах, а вторая, К2,
линейна и однородна в скоростях и однородна степени (-2) в координатах.
§ 77] ВЫЧИСЛЕНИЕ силы 351
Положим
К1 = Ш И\Т~Г\ (3^ + 3M-8Mi) +
а, b
ОафЬ)
+ iS Г**А 55ЯГ1-ь1; <76-38'
а, Ь
{а ф Ь)
!<, = 2^ S (За4-4й,)-
а'/>1
- M^PS (36, - 40,)] ~ +
+ i S ><*•*/" (76-37)
а, 6
{афЬ)
Тогда нетрудно проверить, что будет
дКг дК2 да, да(
Имея в виду оценки
(Р ) = Д?Д , (76.38)
v я^взаим ^ ^ 7
ш- ; /- Ж/.'2; I~MqL, (76.39)
нетрудно заключить, что порядок величины функций /Ct и /(2 будет
*2~м?.^. (76.40)
Таким образом, функция /С2 будет мала по сравнению с /С,.
Сопоставляя формулы (76.16) и (76.38), мы можем написать для
полного количества движения выражение
Яя,=-р-(*+*! +Ка), (76.41)
да{
где К, Кх и К2 имеют значения (76.15), (76.36) и (76.37).
§ 77. Вычисление силы
Для вычисления интегралов, входящих, согласно (75.32), в выражение для
силы
р Г ди*{а) ., 1 а Г d^w{a\,
^ I ~ШГ3 (rfx)'' " ^ dT J Р dxidt(dx) -
U4 ф|
4 Г
-г-J (77-01)
352 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
нужно, прежде всего, найти с достаточной точностью потенциал U*-, что
касается потенциалов W и Uk, то для них достаточно уже найденного первого
приближения [формулы (76.23) и (76.24)]. Согласно (75.05), потенциал U*
удовлетворяет уравнению
At/'-i^Sr = -4^3' (77'02)
где величина о имеет значение
о = о + -1 (А + pH - р(7 + 3р) (77.03)
и мало отличается от р. Если известен ньютонов потенциал U,
удовлетворяющий уравнению
AU = -4it"fp, (77.04)
то обобщенный ньютонов потенциал U* получается из U
введением
двух поправок: поправки на запаздывание и поправки от замены р
на з. Последняя равна
(77.05)
(ОО)
Что касается поправки на запаздывание, то она выражается через введенную
ранее [формула (75.18)] функцию
\V=~-( I o' | г - r'\(dx'f\ (77.06)
(со)
Таким образом, мы имеем
^ = ^+7г^Г+Удоб- (77.07)
Займемся вычислением идоб. Разность о-р мы напишем в виде
°"Р = ^(т^ + рИ -Р"а+3р) -(77.08)
Первый член здесь зависит только от внутренней структуры тела (а) и от
его скорости, а второй - также и от внешнего потенциала. Используя
равенства (76.06) и (76.07), мы будет иметь
f (|{*"¦ + Г-П-[иа + 3p){dxf = i Маat + $e> (77.09)
(о)
ГДс
?а = J(4pQe+ 2p)(dxf, (77.10)
§ 77) вычисление силы 353
и для момента первого порядка
(' (4 pv'2 + оП - риа + Зр ) (х, - a,) (dxf = 3+ f3i, (77.11)
I Cl)
где
"а< = f (4PS" + 2P) (*< - a{) (dxf. (77.12)
(a)
Входящие сюда интегралы вычислены в § 74, а именно
&" = 4ea + 47'"' (77.13)
^ = ^*+37^. (77.14)
Отсюда получаем приближенно:
J (I ^ ~ рП " + йр)' ГГ"?| =
(">
= (4 Жаа1 + Sa) • • (77-15)
Далее, с требуемой точностью будем иметь
|'С/0) (г') , _ AV^(a)
|г_г/| (fl*-> - | г - а | • (77.15)
(а)
Сопоставляя найденные формулы, получим для величины (77.07) выражение
(7доб -
? 2(4 " Маи'аЧ*) + 5") • +
а
+ ^ 2(тЕт[, • (77-17)
а
В формулу (77.01) для силы, действующей на массу (а), входит не весь
