Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Д_УДЙ. = _У^ (72 34)
dt 2и да{ *'i -м dt '
а а
как это видно из сравнения (72.33) с (72.32). В силу уравнений движения
для центров тяжести масс мы получаем отсюда
ж(Х(тЛ,"*+7'.)+ф1=° (72-35>
а
¦ ! закон сохранения энергии в форме
2(-jM"ai+7a)-!-*=-e. (72.36)
а
где Е-постоянная энергии. Заметим, что даже при очень быстром вращении
тел, когда линейные скорости поступательного и вращательного движения -
одного порядка, в балансе энергии (72.34) вращательные члены будут малы
(порядка по отношению к главным j.
334
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. vr
§ 73. Внутренняя структура тела. Уравнение Ляпунова
Уравнения поступательного движения в интегральной форме были найдены, во
втором приближении, в конце § 70. Выпишем их в развернутом виде.
Подставляя значения составляющих тензора массы упругого тела из (70.26) в
уравнения движения (70.23), получим
Здесь величина U* удовлетворяет, согласно (68.30), уравнению
В первом приближении U* совпадает с ньютоновым потенциалом U, но нам
нужно знать U* во втором приближении, с поправками на запаздывание и с
учетом дополнительных членов в правой части (73.02). Величины же
Uудовлетворяющие уравнениям
достаточно знать в первом приближении.
Как мы указывали в § 71, для того чтобы получить из (73.01)
релятивистские уравнения движения в явной форме, необходимо рассмотреть в
ньютоновом приближении внутреннюю структуру тела и соответствующие
уравнения (71.03):
Мы ограничимся рассмотрением тех случаев, когда тело вращается как целое,
наподобие твердого тела. Тогда распределение скоростей внутри тела имеет
вид (см. 71.37):
[значок (а) при подразумевается]. Отсюда ускорение частицы внутри тела
-dt J
(а)
[(ргф+А^ + П + З^)
С-
71 PikVk (dxf =
J(
dU* | 4 dU{
dxt 1 c* dt
(73.01)
(73.02)
Ш i = - 4Ttfp^,
(73.03)
(73.04)
(73.05)
(73.06)
равно
= "t + Оji - (xj - a})-
(73.07)
ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТЕЛА. УРАВНЕНИЕ ЛЯПУНОВА
335
Разложим входящий в (73.04) ньютонов потенциал U иа внутренний (иа) и
внешний (LJW), причем внешний потенциал заменим первыми членами
разложения в ряд Тейлора вблизи точки Xj = ciy Вместо ускорения частицы
w{ подставим его выражение (73.07). Мы получим тогда
/ dUia) \ диа ,
Ра< р\ дх{ )а р dxt'T
дги(а' \
Оценим здесь порядок величины различных членов и сохраним только главные.
Из ньютоновых уравнений движения (71.35) нетрудно заключить, что
(73.09)
Того же порядка будет входящая во второй член (73.08) ве-/ ди^а) \
личина I--J . Но разность этих величин будет мала. Из сопоставления
(71.21) с (71.33) следует, что будет
( dU^a)\ <?2 I? 1П.
ai I дх{ )а R ' ' (/3.10)
(Для почти шаровидных масс эта разность будет еще меньше, так как
значение ее обусловлено неравенством моментов инерции, а не самыми
моментами инерции.) Поэтому мы можем считать, что первые два члена в
(73.08) сокращаются.
Переходим к оценке членов в квадратных скобках. Здесь главный член есть
он имеет порядок величины квадрата угловой ско-
рости. Мы примем, что угловая скорость будет порядка
(73.11)
Порядок величины, производной от угловой скорости по
времени,
определится из закона изменения момента количества движения.
Нетрудно получить оценку
(73.12)
Н1
Сопоставляя ее с оценкой для ш, получаем
(73.13)
К-
Далее, вторая производная от внешнего потенциала по координатам будет
порядка
/ d~U{a) \ <г
336 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
т. е. того же порядка, как ш. Пренебрегая величинами такого порядка *),
мы сохраним в квадратных скобках только член После этих упрощений мы
можем написать "внутренние" уравнения движения (73.08) в виде
Р 1^7 + """** ^ - "РI + -Йг = °- <73-15)
Положим
Ua -]- (r)ik(r)jk С(Xj ttj) Vа. (73.16)
Это есть потенциал тяготения, сложенный с потенциалом центробежной силы.
Уравнение (73.15) может быть написано в виде
?1с7 + -Йг = 0' (73Л7,
Этому уравнению можно удовлетворить, предположив, что тензор напряжений
внутри тела рш сводится к изотропному давлению р
Pac = -P^ik (73.18)
(такому условию всегда удовлетворяет жидкость). Если бы мы не
пренебрегали в (73.08) величинами (о,;, мы должны были бы рассматривать и
не-диагональные элементы тензора напряжений pfl.. В самом деле, очевидно,
что изменение угловой скорости вращения
упругого тела должно вызывать в нем напряжения, которые не сводятся к
изотропному давлению.
При условии (73.18) уравнение (73.17) приводится к следующему:
(73Л9>
Вытекающее из него соотношение
г)\/
= 0 (73.20)
до dVa др dVa
дхк дх{ дх( дх;:'
показывает, что Va и р должны быть связаны зависимостью, не
содержащей координат, так что если р есть функция от одного пара-
метра а, то и Va должно быть функцией от того же параметра
p = p(a); Vа - Va (а). (73.21)
Внутренний потенциал иа есть функционал от р; подставляя в
(73.16)
его явное выражение, получим
1 J ,т=?1 + У (*< - - "*) = ^¦¦ (73•22)
(а)
Такое пренебрежение делается только в уравнениях внутренней-задачи [см.
(80.13)].
§ 74]
ЦЦЧИГЛИННГ НИКОТОРЫХ ИН'П-ТРУЮИ
