Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
интегралов по всему бесконечному объему, но их можно также представить в
виде интегралов по объему, занятому массой (а). Чтобы произвести это
преобразование, введем функцию wa, определяемую равенством
7
w~ -
а. 2
f р' [ г - r'l(rfx')8, (74.28)
(а)
в силу которого
Aw" = иа. (74.29)
Тогда нетрудно доказать равенство
щ J J <74'30>
к")
§ 75]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
341
откуда вследствие (74.11)
(а)
Здесь интеграл распространен уже только по объему массы (а).
Подставляя в (74.31) выражение (74.28) для wa в виде интеграла и выполняя
дифференцирование, можем также написать:
Аналогично формуле (74.31), которую можно написать в виде
Эти соотношения также будут нужны в дальнейшем.
В заключение заметим, что вследствие соотношения (74.22) и уравнений
движения (73.04) деленную на 4itf величину можно толковать, в рамках
ньютоновой теории, как тензор напряжений гравитационного поля массы (а).
§ 75. Преобразование уравнений движения, написанных в интегральной форме
Мы будем исходить из уравнений движения в интегральной форме, приведенных
в начале § 73. Выпишем эти уравнения еще раз, учитывая, что, согласно
(73.18), напряжения сводятся к изотропному давлению р. Мы имеем
(dxf(dx'f. (74.32)
(а)
доказывается и формула
-I
dt J
Ц [l + ^(1 ^'3 + II + зи)] +1 pv,} (dxf -
причем
342 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Положим здесь для краткости
°=*г'+Я^+п-^)+?' (75-04)
так что вместо (75.02) можно писать
<75'05>
Пренебрегая малыми величинами, мы получим из (75.01):
dt
(а)
J Н [1 + Ь (т v~+п+37/)]+h Ы(dx)й ^
Г dU* . 4 С (dUi . ОПД "
i !jV/'J^(dxf- (75.06)
(а) (а)
_i Г,..
с'
(а)
Заметим прежде всего, что
(ж + Ш) <"¦*)' = 31J <^>3 <75-07"
1 т.
С3
(О) (01
так что этот член может оыть перенесен в левую часть и внесен под знак
производной по времени.
Рассмотрим теперь первый член правой части (75.06); он является
обобщением вычисленного в § 71 выражения (71.11), соответствующего
ньютонову приближению. Разлагая, подобно (71.10), потенциал U* на
внутренний и внешний
U* и., (75.08)
мы будем иметь
' •! Г dll* Гг)?/**711 <!
-*№ = Ui:3(rf'v)0+ \ -^rz{dx) ' (75-09)
|\я/; г диа. . , 3 , {'ди*{а)
J dxt
(а) (а)
В ньютоновом приближении первый член справа равнялся бы, согласно
(71.19), нулю, как равнодействующая внутренних гравитационных сил. В
релятивистском же приближении, когда уравнение Пуассона заменяется
уравнением (75.03), это уже будет не так, вследствие запаздывания.
Подставляя в рассматриваемый интеграл величину а из уравнения
* 1 д-и^,
§ 75] ПРЕОБРАЗОВ \НИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 343
справедливого внутри массы (а), и учитывая, что интеграл от члена,
содержащего оператор Лапласа, равен нулю, получим
Г<4! ч 1 С&иа d2u*i ч
' = (75.11)
;-(с
(a) (out
ИЛИ
так как
Р ди" о 1 н Г да., ди* о
j w( 3= ' <75Л2)
(а) (со)
Г д-и' да* "
I =°- (75ЛЗ>
(со)
Вследствие малого множителя перед интегралом, мы можем в пра-
?
вой части (75.12) заменить величину иа ньютоновым потенциалом иа, после
чего формула (75.12) напишется
J й)= kW I \w, % <"*>' • <75-14>
(а) (оо)
Вводя, согласно (74.28), величину wa, связанную с иа соотношением
ь(tm)а = иа> (75.15)
можно преобразовать интеграл в правой части уравнения (75.14) и написать
это уравнение в виде
1>^(5*Л (75.16)
(а) (а)
Последнюю формулу можно было бы вывести и более прямым путем, подставив
в интеграл слева приближенное решение уравнения (75.10).
Таким образом, первый член правой части (75.06) можно пред-
ставить в виде
f dU* ,з_ Г (Л/ " , , , 1 d Г diwa , ,
,з ,7к , 7,
J d^a(-dx^ ~ J дх, ^ + "2 at J р ~dxtdt " ¦> ' (75-17)
а (а) (а)
Сделаем здесь еще одно преобразование. Введем функцию
W-ji jp'|r-г'|(йл:'Д (75,18)
(со)
представляющую решение уравнения
AW -- U., (75.19)
344
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ Г.1. VI
где U есть ньютонов потенциал. Из сравнения (74.28) с (75.18)
очевидно, что
Н? (75.20)
а
подобно тому как ньютонов потенциал есть сумма потенциалов отдельных масс
Г 2",- (75.21)
а
Разложению (71.10) ньютонова потенциала на внутренний и внешний
соответствует разложение
W = -W" + (75.22)
Применяя это разложение, можем написать вместо (75.17):
ГдЦ* so 1 d Г дт{а) ,, .s ,
J dxt ' ^ ^ J dx( 3 ( ^ " c-7 dt J 3 d*, dt ^ +
in) (a) id)
. 1 d f d4V .. .a ,_r 0.,,
"TcSrfFj • (7o-23)
(Ol
Повторяя ряссужтения. которые привели нас к формуле (75.16), по отношению
к совокупности всех рассматриваемых масс, мы приходим к формуле
|\о" sS_ Id f, з ,7^ ода
J Фл-ТJ ' (70.-4)
(a;' (ссЛ
откуда следует, что
\д I fdt/1"' , , -i 1 d [' cW"' r. /7- о-a
'НА-, ^ О-V) , 1S (^.2о)
a in) (a)
Рассмотрим теперь последний член уравнения 75.06). Разделяя
"вектор-потенциал1' 0к на внутренний и внешний
Uк ¦¦¦-= unk + U(l\ (75.26)
заключаем, аналогично предыдущему (см. § 71), что в сил}- уравнения
Пуассона (75.03) будет:
f l'Vk (<1xf ~ 0 (75.27)
u. следовательно, последний член в (75.06) будет равен
-Ци* a4JV?|V-
V") eai
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
