Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
обозначая через Sik сумму
5й = 25Г+ 2 ST (82.56)
а а ф b
и подставляя ее в формулу
- -rK., -L-
сз
%'к - - chk ~Ь 7F $гк> (82.03)
388 приг.лижгиныр рпирпия и пгипципи'шлшн вопросы [гл. vn
мы получим явные выражения для пространственных компонент
фундаментального тензора. Эти выражения справедливы также и в области
внутри системы тел (между массами).
Для смешанных компонент фундаментального тензора мы имели приближенное
выражение
(82.57)
где Ui есть решение уравнения (82.11), которое в рассматриваемом
приближении равно
Ut = У Л'!1'!'! (82.58)
1 -J I г - а | 4
И
[см. формулу (76.23)].
Мы можем теперь проверить, что найденные явные выражения для Si!c и для
Ui удовлетворяют условию гармоничности (82.15). Мы имеем
а а
Далее, при помощи формулы
д2 lg s _ (I г - а Н- J г - Ъ | - [ а - b |)
(82.60)
dtzj db.: 2 | г - а | • j г - b j -1 а - b |
и двух других формул, получаемых из (82.60) перестановкой букв (а, Ь, г),
можно проверить равенство
-r= 1 fM,Mb I й' ~Л (г----------,-Цгт') • (82.61)
дхк 2 * 0 ь | а *- Ъ \ | г - а | | г - b | / v J
Суммируя это по а и по bt получаем
V d-^ik~ = У fMnMb (at-~!)r •---г (82.62)
дхк 1 " 'а b | г - а [ 4 '
а ф- Ъ а Ф Ь
или, если мы положим
Л. __ 1 -{МаМъ (Я.0 НЧ4"
Ф-"2" |Т=ЬТ- (82л,3)
а фЬ
2айг = 1|7Д,тжг- (82-м>
а ф Ъ а
Складывая равенства (82.59) и (82.64), получаем окончательно
§ 83] потенциалы тяготения для невращающихся масс 38ы
Но величина Ф есть ньютонова потенциальная энергия системы тел. Поэтому
л силу ньютоновых уравнений движения. Следовательно, будет равно нулю и
все выражение (82.65), в согласии с (82.15). Видоизменяя наши
рассуждения, мы могли бы (подобно тому, как это сделано в нашей работе
1939 г. [84|) вывести из (82.15) и (82.65) ньютоновы уравнения движения
(82.66).
§ 83, Потенциалы тяготения для невращающихся масс (смешанные и временная
компоненты)
Найдем следующее [по сравнению с формулами (82.57) и (82.58)] приближение
для смешанных компонент (]°* потенциалов тяготения. В уравнении (82.06)
мы должны положить ы. = 0, v = 1 и подставить туда значение №* из (68.15)
и значение T0i из (66.07), с тем, впрочем, упрощением, что напряжения pik
сводятся к изотропному давлению р и что скорости vi - a-t внутри каждого
тела постоянны. Напишем формулу (68.15) для (Vй* в виде
где, согласно (66.07), в случае изотропного давления р будет
(с* + 4(7) Toi = ^ {о +-?- (j v* + П + 3(7) + }. (83.04)
для gw, мы можем удовлетворить этому уравнению, если мы потребуем, чтобы
было
Так как эти уравнения содержат в качестве параметра скорость света с, то
величины Ui и Si уже не будут коэффициентами
(82.66)
(83.01)
(83.02)
Уравнение (82.06) напишется тогда
(83.03)
Подставив в уравнение (83.03) выражение
(83.05)
(83.06)
(83.07)
390 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
разложения по обратным степеням с. Однако эта непоследовательность в
обозначениях несущественна, поскольку в первом приближении уравнение
(83.06) для совпадает с (82.11).
Чтобы написать решение уравнения (83.06) в области вне масс, нужно знать
значение объемного интеграла от его правой части, взятого по объему
каждого тела. Для вычисления этого интеграла припомним соотношение
рП -ра"4-р = 0, (83.08)
к которому сводится формула (73.26) при отсутствии вращения. Мы имеем,
согласно (74.07) и (74.24),
Jpиа(йх)3 = 2за\ j p(dxf = jsa. (83.09)
(О) (О)
Соотношение (83.08) дает поэтому
J рП(А0" = |-зо. (83.10)
(а)
При помощи этих формул получаем
J (с2 -ф- 4(7) Т0г (dx)° = Madi { 1 -ф- -jp (¦j v~a -f- 3U{a) (a) j -f-
eaait
(83.11)
где (7*°' есть введенный в § 71 внешний потенциал. Вычисления здесь
значительно проще, чем в § 76, так как мы вращения не рассматриваем.
Заметим, что величина (83.10) есть внутренняя (упругая) энергия тела. Так
как его гравитационная энергия есть минус в0, то сумма, 2
равная -д га, представляет ту энергию, которую нужно учесть при
вычислении эффективной массы. Последняя будет равна*)
me=Ma+ -§•§-, (83.12)
в согласии с (76.18) и (80.18).
При помощи (83.11) мы можем написать приближенное решение уравнения
(83.06) в виде
и> = 2 гАт I^ (г<+зи'" о) ¦+%¦ 1 +
а
Щр ~SW ^ T^aai I г а1- (83.13)
а
Последний член в (83.13) представляет поправку на запаздывание.
*) Соотношение (83.12) необходимо иметь в виду при сравнении выведенных
здесь формул с формулами нашей работы 1939 г. [м].
§ 83] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ для шврицлющих МАСС 391
Переходим к уравнению (83.07) для 54. В этем уравнении можно пренебречь
второй производной по времени и писать его в виде
A Si = Qi. (83.14)
Подобно (82.20), можно представить величину в виде
Qi = 2 Q(i'a) -f Ъь Qfb), (83.15)
где Qfa) есть квадратичная функция от первых производных массы (а),
I Qfb)- билинейная функция от первых производных потенциалов масс (а) и
(b). Соответственно разложению (83.15) можно написать решение уравнения
(83.14) в виде
si=2sr,+2 (83.16)
а афЪ '
где отдельные члены представляют решения уравнений
kSTa) = QTa\ (83.17)
