Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
407
,,'юряет соотношению
ж+г| = °- <85-ш
В формуле (84.40) для пространственных компонент, которую можно написать
в виде
д" = - cc,ik + ?хгхк (dxf -
- ^jt % ( (XjXPk + XjXkVi - xiXkVj) {dxf + i:-M^XrlXk , (85.48)
3 1 I r
оставлены члены порядка - I точнее, порядка и отброшены члены
более высокого порядка. Если написать с той же точностью и ве-
личину д0#, то, как нетрудно проверить, будет выполняться и соотношение
Т + ЕТ = °- <85-49>
§ 86, Решения волнового уравнения в волновой зоне
Предыдущие выражения для потенциалов тяготения применимы на "умеренно-
больших'1 расстояниях от системы тел. Как уже было объяснено в начале §
84, под этим разумеются расстояния, большие но сравнению с размерами
системы тел, но малые по сравнению с длиной испускаемых системой волн.
Если же расстояния велики лаже по сравнению с длиной испускаемых системой
волн, то мы имеем дело с "волновой зоной". В волновой зоне уже
недопустимо рассматривать в волновом уравнении член со второй произзодной
по времени как поправочный, и решение должно строиться иначе.
В случае Солнечной системы "умеренно-большими" явдяются расстояния вплоть
до ближайших звезд, т. е. вплоть до областей пространства, где систему
нельзя считать изолированной. Поэтому, практически, при изучении
Солнечной системы за пределы умереннобольших расстояний выходить не
приходится. Однако в некоторых теоретических вопросах, например, в
вопросе об излучении гравитационных воли, или в вопросе об однозначности
решений уравнений тяготения, приходится рассматривать расстояния,
попадающие в волновую зону и сколь угодно большие в математическом
смысле.
Прежде чем переходить к решению уравнений Эйнштейна на сколь угодно
больших расстояниях, разъясним понятия "умереннобольших расстояний" и
"волновой зоны" на примере простого волнового уравнения со свободным
членом
д'>-42=-4-- (86-oi>
В теории тяготения аналогом б является разность между д:9-' и его
предельным значением на бесконечности.
408 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл.
VII
Если считать "плотность" а известной, то можно написать интересующее нас
решение в виде запаздывающего потенциала
4 = f jT^r7] {dX'f' (86-02>
где
[о] = a (t', г'), (86.03)
причем
t' = t - j |г-г'|. (86.04)
То, что мы берем именно это, а не другое решение, соответствует нашим
представлениям об изолированности системы и о том, что единственным
источником волн являются тела, составляющие систему. Точный вид начальных
условий здесь пе существенен; достаточно предположить, что начальное
возмущение было сосредоточено в конечной области, окружающей систему, и
что мы рассматриваем такие времена и расстояния, когда и на которых
начальное возмущение уже разошлось.
Предположим, что плотность о имеет, с одной стороны, производные по
времени различных порядков и, с другой стороны, "моменты" различных
порядков, для которых введем обозначения
р,0(О = J а (чг, г')(dx'f, ]
H-i С^) = J г') (dx'f, j- (86.05)
\>чи СО = J xtxkz (ч:, г') (dx'f,
те z есть некоторая величина, не зависящая от г'.
Применявшийся нами в предыдущих параграфах прием для решения волнового
уравнения сводился к разложению аргумента f в функции о и самой этой
функции по обратным степеням с. Так как при таком разложении под
интегралом появляются возрастающие степени \г - г'|, то ясно, что этот
прием дает хорошо сходящийся ряд лишь для "умеренно-больших" расстояний
г. (Область быстрой сходимости ряда и дает уточнение этого понятия.)
Каждый член ряда может быть в свою очередь разложен по обратным степеням
г, причем в коэффициенты разложения войдут "моменты" (86.05), вычисленные
для z = t.
Но можно выделить в выражении (86.04) для t' величину
t - t - (86.06)
и писать t' в виде
*' = * + !(/¦ - |г -Г'|). (86.07)
§ 86] РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ВОЛНОВОЙ ЗОНЕ
409
Тогда, разлагая t' и з по степеням лишь поскольку эта величина не входит
в т, мы получим ряд другого вида, притом такой, который сходится при
сколь угодно больших значениях г.
Если мы в этом ряде возьмем совокупность членов, медленнее всего
убывающих при возрастании г, то мы получим выражение для <Ь, справедливое
в волновой зоне, т. е. при весьма больших значениях г. Сохранение лишь
наиболее медленно убывающих членов соответствует замене величины (86.07)
выражением
(86.08)
(86.09)
есть единичный вектор в направлении г. Таким путем мы получим для 6
выражение вида
п), (86.10)
где
а(т, п)= [з(т4-^-, r'^{dx'f (86.11)
есть функция от трех аргументов: величины т и двух углов, через которые
выражается п. Заметим, что если р. есть произвольная функция от этих трех
аргументов, то ф будет приближенным решением однородного волнового
уравнения.
Если существуют моменты (86.05), то мы можем написать следующее
разложение для а:
и(т, п) = р0 + ^^ + 1^рл+ ... (86.12)
ИЛИ
р,(т, п) = р,0-|-~ [Ц-f- + • • •. (86.13)
где точками обозначены производные от величин (86.05) по своему аргументу
т, или, что то же, по времени t.
