Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
замене переменных (любому преобразованию координат и времени);
пользование же разными системами отсчета (инерциальной и неинерциальной)
равносильно вычислению одного и того же интеграла в разных переменных.
Ясно, что несовпадение результатов при этом полностью исключается.
Заметим, что при разъяснении парадокса часов мы (в отличие от обычного
рассмотрения) намеренно не пользовались "принципом эквивалентности":
ввиду приближенного характера этого принципа
(62.02)
о
286
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
пользование им могло бы оставить сомнение в том, полностью ли устраняется
парадокс рассуждениями, которые на этот принцип опираются.
Произведем теперь, на основе сделанной гипотезы, приближенное вычисление
показаний часов, претерпевших ускорение. Мы будем пользоваться выражением
для ds3 в ньютоновом приближении, причем будем вести вычисления в
инерциальной системе отсчета, в которой часы А неподвижны. Согласно
формуле (51.07), мы имеем
t
* = f (:1 - ja (т ^+ U) ) dL (62.03)
о
Пусть U0 есть постоянное значение U в той точке, где находятся часы А.
Если часы В в первый раз проходят мимо Л в момент t - О, а второй раз (в
обратном направлении) - в момент t = Т, то разность показаний часов А за
этот промежуток времени равна
т
J(l-§)^=(l-х)7'. (62.04)
о
Здесь учтено влияние потенциала тяготения на ход часов [см.
формулу (51.14)]. Для разности показаний часов В за тот же
проме-
жуток времени получим выражение
т
= J {1 - ^ + U) ) dt. (62.05)
о
Следовательно, часы В отстанут от часов А на величину
т
ZA - xB = l j* (1 vi-\-U - U^dt, (62.06)
o'
где интеграл взят вдоль траектории часов В. Заметим, что по закону
сохранения энергии
^tf - U=±vl - U0, (62.07)
где x>0 есть значение скорости часов В в той точке, где U = U0.
Соотношение (62.07) позволяет писать формулу (62.06) в различных
других видах, например в виде
т
^ - т* = |2 f (у v\ + 2U - 2Uoj dt. (62.08)
о
О ПАРАДОКСЕ часов
287
Относительно потенциала U мы предположим, что в рассматривав мой области
он имеет вид
U - U0 (при х<х1),
V = Uo-\-g(x1 - х) (при х > л^).
Пусть часы А все время находятся в начале координат, а движение часов В
происходит по оси л;. Координаты часов В будут
x - v^t (при (<(,), (62.10)
x = xx-\-v0(t - tx) - ^g(t- ttf (при (62.11)
x = x - v0(t-(2) (при (>(2). (62.12)
Здесь ty и t2-времена прямого и обратного прохождения часов В
через точку х = хх. Эти времена равны
= k = + = (62.13)
где
t*=^ (62.14)
g
продолжительность равноускоренного движения. Время возвращения часов В в
точку л; = 0 равно, согласно (62.12),
(62.15)
При вычислении интеграла удобнее пользоваться формулой (62.08),
так как величина в нем постоянна, а разность 217 - 21/0 отлична
от нуля только в области (?t < t < t2), где справедлива формула
(62.11). Элементарные выкладки дают, при помощи (62.14):
^-^ = |(т7'-И- <62л6>
Если бы мы применяли (незаконным образом) формулу (62.01), мы получили бы
выражение (62.16) без члена с t*. Этот член дает поправку на ускоренное
движение. Из формулы (62.16) следует, что если продолжительность
ускоренного движения равна (r)/4 Т, то никакого отставания часов В не
получится, а при t* - Т получается даже опережение. Не следует, впрочем,
забывать, что формула (62.16) не является общей, а выведена в довольно
частных предположениях относительно характера движения.
Вычисления произведены нами в инерциальной системе отсчета, связанной с
часами А. Повторять их в координатной системе, связанной с часами В, не
имеет смысла, поскольку тогда пришлось бы вычислять те же самые
интегралы, только выраженные через другие переменные.
(62.09)
ГЛАВА VI
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
§ 63. Уравнения свободного движения материальной точки и их связь с
уравнениями тяготения
В предыдущей главе мы уже пользовались предположением, что в заданном
поле тяготения материальная точка движется по геодезической линии. Это
предположение не является, однако, независимой гипотезой, но может
рассматриваться, как следствие из уравнений тяготения, в соединении с
предположением о виде тензора массы. Уравнения тяготения используются
при этом лишь постольку,
поскольку из них вытекают соотношения
= 0, (63.01)
выражающие равенство нулю расходимости тензора массы. Уравнения движения
материальной точки получаются, путем предельного перехода к случаю
сосредоточенной массы, из уравнений движения сплошной среды. При этом
тензор массы принимается равным
7""=-lpW, (63.02)
где, как и в § 48, р* есть инвариантная плотность массы,
а и'1 - четырехмерная скорость. Эти величины связаны уравнением
неразрывности
Vv(pV) = 0. (63.03)
Мы дадим здесь для уравнений движения материальной точки два вывода: один
из них основан на вариационном начале, а другой - на непосредственном
использовании уравнений (63.01).
В § 47 мы установили формулу, согласно которой вариация интеграла
действия
5=J cYV^g (dx) (63.04)
равна
S / cy v ^g(dx) = _ J р* (u V^)f V~g{dx), (63.05)
§ 631 УРАВНЕНИЯ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 289
