Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
что и будет задачей этого параграфа.
Согласно формуле (41.24), общее выражение для расходимости симметричного
тензора имеет вид
Порядок величины составляющих тензора массы, во всяком случае, правильно
дается формулами (55.02). Мы будем иметь
где q есть уже применявшийся нами параметр, характеризующий порядок
величины скорости.
Рассмотрим нулевую компоненту расходимости тензора массы. Она дается
выражением (65.08) при и. = 0. В исходном приближении мы
Ш - - 4тт-ур,
(65.04)
Д Ui= -4 Tqpi/j.
(65.05)
(65.06)
При этом, согласно (55.37),
(65.07)
(65.08)
где для краткости положено
у'< = ?~х~ (lg ^ = Г*с
(65.09)
Г°°=0(|г); = я)\ (65.10)
§ 65] РАСХОДИМОСТЬ ТЕНЗОРА МАССЫ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 297
пренебрегали здесь всеми членами, кроме производных. Чтобы сделать
следующий шаг, мы должны знать величины Г(r)? и _yv с точностью до членов
порядка 1/с2 включительно. Что касается пространственных компонент
расходимости, то в исходном приближении мы ими пренебрегали вовсе. Чтобы
учесть их хотя бы в первом приближении, мы должны теперь найти в Г"?
главный член, не содержащий множителя 1/с2. Для определения у," Г(r)? и If?
с указанной точностью достаточно приближения, даваемого формулами
(65.03)-(65.07).
Из формул (65.07) и (65.09) получаем без труда
2 dU 2 dU ,,,
Уо - с'2 dt ' yi~~ с* dxi ' (65.11)
Вычисляя, далее, скобки Кристоффеля по известным формулам
If, = g-:,vIV?, (65.12)
где
р _ 1 (dg-,. dg,? dgrj^\
легко убеждаемся, что в последней формуле, в данном приближении, всеми
членами, содержащими множитель 1/с2, можно пренебречь,
после чего останется
а также
Г 1 0, 00 - dU . dt ' Г . - 1 о, oi -• dU dxt ' (65.14)
у 1 h Оо i ii (65.15)
получаем;
г° - 1 <)Г> - - 1 dU . с3 dt ' г4. - 1 (>? - - 1 OU c2 dxg '
(65.16)
тогда как величины Г,-/, будут более высокого порядка малости, а именно
Г?* = о(^). (65.17)
Из скобок Кристоффеля с пространственным верхним значком главными будут
(65.18)
Что касается остальных, то они будут малыми величинами, а именно Гой = О
(^); Г?, = 0(1). (65.19)
Найденные значения скобок Кристоффеля позволяют нам написать выражение
для расходимости тензора массы.
298 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Формулу (65.08) для (х = 0 можно написать подробнее в виде 37-ио $ты dt '
дх*
Vv 7-==*? + *?- + (Г2о + У о) Т00 +
+ (2Пг+^0 Та1 + Г"Г\ (65.20)
Здесь, согласно (65.11) и (65.16), коэффициент при Т00 равен
Гоо + З'о - • (65.21)
Что касается коэффициента при T0i, то он оказывается исчезающе малым, а
именно
2Го°г + Л = о(^). (65.22)
Согласно (65.17), того же порядка будет и коэффициент при Tik.
Таким образом, в нашем приближении формула (65.20) прини-
мает вид:
<65-23)
Для пространственных компонент расходимости мы получаем из (65.08) при =
i
п 'ri'* дТгП дТ/1: | 1Лг ^00 |
V,r __-|_^Н-10о т +
4- 21 'ikf'k + y0Tni + r )ciTkl + ykTil:. (65.24)
Как видно из приведенных выше оценок, здесь все коэффициенты во второй
строке будут содержать множитель 1/с2, так что члены во второй строке
можно отбросить. Заменяя Г[!0 его выражением (65.18), мы получим тогда
= с65-25)
Таким образом, учитывая отклонения метрики от евклидовой, или, что то же,
учитывая- силы тяготения (то и другое в первом приближении), мы должны
писать условие равенства пулю расходимости тензора массы в виде
уравнений:
^° + S + ^"00=0' (65.26)
^ + S-ftr°0=0- <65-27)
§ 66. Приближенный вид тензора массы для упругого тела при учете поля
тяготения
Приближенные выражения для тензора массы упругого тела, без учета сил
тяготения, были получены нами в § 32 из рассмотрения
скаляра и вектора Умова (плотности и потока энергии). В
принятых
ПРИБЛИЖЕННЫЙ ВИД ТЕНЗОРА МАССЫ
299
нами теперь обозначениях (в которых х0 = t) эти выражения были затем
выписаны в § 55. Согласно формуле (55.02), они имеют вид:
"тг" = ?(1+Д(Д"' + п)),
с'-Т"' = т (l+I()."s + n))
С2 Г'* = р ViVk - pik.
Напомним, что здесь есть трехмерный тензор упругих напряжений, а П -
упругая энергия единицы массы тела. Эти величины удовлетворяют, согласно
(30.08), соотношению
dll 1 (dvt | dvk\ /CiC. nr>.
P rfF - 7 Pik (+ dT,) • (66-02)
Нам надлежит теперь обобщить выражения для тензора массы,, приняв во
внимание поле тяготения. По теории Ньютона, взятый с обратным знаком
ньютонов потенциал есть в то же время потенциальная энергия частицы
единичной массы, находящейся в данном поле тяготения. Поэтому следует
ожидать, что надлежащие выражения для плотности и потока энергии
получатся, если в формулах (30.14) и (30.15) для скаляра и вектора Умова
добавить члены (-рU) и (-рViU). Это дает
5 = у оц'2 + р (И - U), (66.03)
Si = vi {урц2+р(П - U) ]~pilcvk. (66.04)
Компоненты 7'00 и Т<н тензора массы получатся по формулам:
cT'w^p + i.S, (66.05)
ca7'01 = pt;i+^S1. (66.06)
Окончательно мы будем иметь:
С9Г00=Р jl+^(^x,4+n-i/)},
С1 Т<" = pvt j 1 + ^ (у "'3 + 11 - и) I с2Тгк = pvivk- pik.
Если наши рассуждения верны, то эти выражения должны, в требуемом
приближении, удовлетворять выведенным в конце предыдущего
