Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить этот ответ, произведем сравнение выражения
(61.05) с вытекающим из теории тяготения приближенным выражением
коэффициенты при dt* приближенно совпадут, если мы возьмем потенциал
тяготения равным
ds2 = с2 dt'2 - (dxr2 + dy'2 + dz'2).
(61.01)
у' - y\ z' = z,
(61.02)
t' = - sh^- + -sh^
0 P 1 P P
g С 1 С С
(61.03)
предыдущие формулы могут быть написаны в виде
x' = x-j-i?gt2\ у' -у, z' = z, t' = t. (61.04)
Подстановка (61.02) в (61.01) дает
ds2 = (с + ^ dt2 - (,dx2 + dy2 + dz2). (61 -05)
ds2 = (с2 - 2 U) dt2 - (1 + (,ix2 + dy2 4- dz2), (61.06)
(61.07)
U = - gx.
(61.08)
*) Это преобразование указано Меллером ['<*0].
282
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
Что касается коэффициента в пространственной части ds3, то отличие его от
единицы будет несущественным для таких интервалов, для которых величина
<Нзт)+Ш+(c)' (610э)
удовлетворяет неравенству
^2<Сс2. (61.10)
Значение (61.08) потенциала тяготения действительно дает, по ньютоновой
механике, равноускоренное движение. В случае нулевой начальной скорости
мы будем иметь постоянные значения х', y't z' и приближенно
gt* - const, (61.11)
что соответствует равноускоренному движению в координатах (х, t).
Произведенное нами сравнение двух выражений для квадрата интервала
показывает, что ускоренно движущаяся система отсчета при Отсутствии
тяготения действительно представляет известную аналогию *) с инерциальной
системой отсчета при наличии поля тяготения. Однако это же сравнение
указывает на то, что данная аналогия далеко не полна, так что не может
быть и речи о полной эквивалентности или неразличимости полей ускорения и
тяготения. Рассмотренный пример вполне подтверждает формулированное выше
заключение о том, что "эквивалентность" имеет место только в ограниченной
области пространства и только для слабых и однородных полей и медленных
движений [равенство (61.08) в соединении с неравенствами (61.07) и
(61.10)].
Мы уже говорили о том, что если рассматривать всё пространство, то
истинные поля тяготения можно отделить от фиктивных, вызванных
ускорением.
В ньютоновой теории это можно сделать, используя предельные условия для
ньютонова потенциала тяготения.
В эйнштейновой теории вопрос об отделении истинных полей тяготения от
фиктивных проще всего решается в гармонических координатах (компоненты
фундаментального тензора должны при этом удовлетворять предельным
условиям, рассмотренным в § 54). Как будет показано в § 93, гармонические
координаты определяются единственным образом, с точностью до
преобразования Лоренца
*) Эту аналогию можно использовать при построении теории тяготения
Возможность преобразовать выражение (61.01) к виду (61.05) дает указание
на то, что ньютонов потенциал должен входить именно в коэффициент при
dfi. В этом отношении аналогия несомненно полезна. Впрочем, в § 51 мы
выяснили вопрос о виде ds2 в ньютоновом приближении, не прибегая к
указанной аналогии.
§61] О ЛОКАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТЫ. ПОЛЕЙ УСКОРЕНИЯ И ТЯГОТЕНИЯ 283
Поэтому можно считать, что введение гармонических координат автоматически
исключает все фиктивные поля тяготения. Так, для квадратичной формы
(61.05) гармоническими координатами будут исходные переменные (61.02), в
которых квадрат интервала имеет вид (61.01).
Условия гармоничности вообще не допускают тех произвольных преобразований
координат [например, вида (61.02) или (61.04)], на рассмотрении которых
основаны рассуждения о,локальной эквивалентности. Но если даже оставить
эти условия в стороне и пытаться толковать переменные (х, у, z, t) в
формуле (61.05) как декартовы координаты и время, то такое толкование
будет возможно только "в малом". Если же рассматривать выражение (61.05)
"в большом", то непосредственно ясно, что такое толкование наталкивается
на противоречия. Во-первых, коэффициент при dfi в этом выражении не
удовлетворяет предельным условиям, так как обращается в бесконечность
вместе с координатой х\ во-вторых, этот коэффициент (а с ним и "скорость
света") обращается в нуль на некоторой
Еще более явное нарушение предельных условий для фундаментального тензора
получается в результате преобразования (35.47), которое в ньютоновой
механике означает введение вращающейся координатной системы. Подстановка
выражений (35.47) в (61.01) дает
Здесь фундаментальный тензор не только не удовлетворяет предельным
условиям, но даже нарушает, на достаточно большом расстоянии от оси
вращения, неравенства, установленные в § 35. Это показывает невозможность
толкования выражения (61.12) в смысле "гипотезы эквивалентности".
В рассуждениях этого параграфа мы не пользовались общим тензорным
анализом. Применение его к формулам (61.05) и (61.12) показало бы
равенство нулю тензора кривизны четвертого ранга, а тем самым и
отсутствие истинных полей тяготения.
В заключение заметим, что при выводе уравнений тяготения Эйнштейна мы
ускоренно движущихся систем отсчета вообще не рассматривали, а
следовательно, и не пользовались принципом эквивалентности. Мы
