Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 107

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 167 >> Следующая

г 2 (dUj дЦк\
Пы~ сЛдхк дх,)>
ди 4- 2 dU*
дх,
dt

(67.18)
При вычислении IT Jo потребовалось значение g00 = с2- 217; при вычислении
остальных величин достаточно было галилеевых значений фундаментального
тензора. В формулах для Паз мы ограничились членами порядка 1/с2.
Для вычисления скобок Кристоффеля необходимо знать, помимо величин Па?,
также величины Л?з, определяемые, согласно формуле
= у- (у$ + узЭД: - ygrt),
где
_ dlgY- g
дха
у = ё',лУ,
(67.19)
(67.20)
[см. Добавление Б]. Выпишем приближенные значения величин уа.
Дифференцируя (67.05), получаем
2 j dU j 1 / dS_ . т.dU_dSkjA |
Л - с2 \ дх,: "Т" с2 \дХ{ * и дх{ dxi ) 1 '
_ 2 j dU , 1 (dS A,,dU dSkk\ )
У° c2 1 dt c2 \ dt dt dt ) ) '
(67.21)
Для величин у'- с верхними значками получаем, ограничиваясь членами
порядка не выше 1/с4, следующие значения:
2tdU,l(dS nr j dU dSjciA)
У
(67.22)
Скобки Кристоффеля выражаются через вычисленные величины по формуле
Г?? = П?? + Л?р. (67.23)
§ 67] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СКОБОК КРИСТОФФЕЛЯ 305
Если ограничиться членами порядка не выше 1/с2, то при р. = 0 мы будем
иметь, как и в приближении (65.16),
г" = -;№ = г"=°(з). (эт.24)
тогда как при р = / мы получаем более точные [сравнтельно с (65.18) и
(65.19)] выражения:
тлъ dU 1 (&S | dSkk orjdU , л ди/\
+ ~dt)'
ri _ 1 dU" 2 (ди{ dUk\
nk c2 dt ik Ф \dxk dxi) '
_ 1 (dU % . dU j. dt/. \
(67.25)
В приближенных вычислениях удобно пользоваться формулами,
преобразованными к такому виду, чтобы в них входили величины а не Пф.
Преимущество первых величин перед последними видно из сравнения формул
(67.18) с формулами (67.25). Эти формулы показывают, что величинами Пи
можно пренебрегать, тогда как величины Г*г приходится учитывать.
В Добавлении Б получена для тензора Эйнштейна формула, преобразованная к
указанному виду, а именно формула (Б.87). Эта формула содержит функцию
Лагранжа, которая, согласно (Б.95), равна
<67-26>
Найдем приближенное значение этого выражения. Из формул (67.21) и (67.22)
получаем
С другой стороны, формулы (67.17) и (67.18) в соединении с исходными
выражениями (67.04) для дают:
1 ттР ^ - 4 (ди\2 I 16 dU dU( .
2 "Р dxр с5 \ dt) * с5 dx{ dt '
tr-
Складывая с этим равенством деленное на 2 предыдущее равенство, получаем
для умноженной на У-g функции Лагранжа выражение: г лГ 2/. 8U\\(dUy
. 2 dU/dS . dSkk\] .
_Li \ЬМди,-_ 4_(dJJ1_dUk\* rfi79q. ~T~cs\dt) ~T~ cs dx{ dt c5 \dxk dx{) '
20 Зак. 485. В. А. Фок
L
306 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Вводя по формуле (67.11) величину U*, можно предыдущее выражение написать
в виде
^ с3 \г)х,;) ' е5 \ Л j ' с5длгу dt с:> \дх^ дхг)
В поправочных членах мы заменили здесь U на U*. Последняя формула
замечательна тем, что правая часть ее представляет однородную
квадратичную функцию, с постоянными коэффициентами, от первых производных
четырех величин U* и Ut.
Из сравнения формул (67.27) и (67.29) видно, что сумма
+(?)'+^,?') <"¦"¦>
будет более высокого порядка малости, чем величины (67.27) и (67.29) в
отдельности. Это замечание позволяет найти весьма простое выражение для
инварианта кривизны R. Согласно формуле (Б.49), мы имеем, в гармонических
координатах
<67-32>
Пользуясь обозначением (67.08), можем написать
Y^=c.f, (67.33)
после чего получим
л = 7&- (67'35)
" = ?*'s^-(W'+i)- <67'36>
Перейдем теперь к приближенным формулам. Согласно (67.31), величина ^-f-
будет шестого порядка относительно 1/с. Отбрасывая величины шестого
порядка, мы можем заменить величины
их галилеевыми значениями. Это дает для инварианта кривизны R
весьма простое приближенное выражение
*=л(*да-4')- <67-37>
где Д - оператор Лапласа с евклидовыми коэффициентами.
Но мы имеем Поэтому
§ 681
ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ
307
§ 68. Приближенная форма уравнений тяготения
Вычисления предыдущего параграфа позволяют нам написать левую часть
уравнений тяготения Эйнштейна
/Г - j g^R = - - Т'1' (68.01)
в том приближении, какое соответствует принятой точности. Выпишем сперва
значение левой части без пренебрежений. Согласно формуле (Б.87), мы имеем
OPv L rr^P - (1*3 д Й1* I rr,1'a'3TTVo I
H 2 g H - 2g 9 dx,dXf +11 Ila^ 2-37 У +
+ + - B'\ (68.02)
Здесь L есть функция Лагранжа:
L = __7L=n:?-^- + i^y. (68.03)
2 У-g дх, 2
уже встречавшаяся в предыдущем параграфе. Величины filiv, согласно
(Б.85), определены формулами
ег = r"v+J (/rv + /П =
kv"+/)rv + i(Vv+/')r>\ (68.04)
2 4 т-х г 2 где Гу - введенные в § 41 и в § 53 величины:
pv__________1
(68.05)
V- g dxv, '
Величина В есть составленный из. В"квази-инвариант"
e = ^,XV = (V,+J-)rv (68.06)
(это не есть настоящий инвариант, поскольку В1" не есть тензор). В
гармонической системе координат величины Г\ а следовательно,
и Г11'', а также В11V и В, исчезают.
Заметим, что пока в левой части уравнений Эйнштейна (68.01)
стоит полное выражение (68.02) для консервативного тензора, ра-
венство
V"rv = 0 (68.07^
представляет следствие самих уравнений. Если же мы в консервативном
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed