Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 102

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 167 >> Следующая

где - вектор бесконечно малого смещения. [Формула (63.04) отличается от
(47.46) только обозначением р* для инвариантной плотности]. С другой
стороны, если тот же интеграл действия варьировать по величинам g^, то
получится, согласно (48.03),
f cYV-g (dx) =y -g(dx). (63.06)
Согласно общей формуле (48.22), это соотношение показывает, что интеграл
действия (63.04) действительно соответствует тензору
массы (63.02).
В интеграле действия (63.04) мы можем произвести предельный переход,
предположив, что инвариантная плотность отлична от нуля только в
окрестностях одной пространственной точки, причем интеграл от плотности,
взятый по объему, окружающему эту точку, имеет конечное значение.
Уравнение неразрывности (63.03) может быть написано в виде
^(/=i?V)= 0. (63.07)
Умножая па dx,dx.,dx.,, интегрируя по указанному объему и пользуясь тем,
что на его границах величина о* равна нулю, получим
отсюда
~ | г/и° У - gdx, dx2 dx,,: 0 (63.08)
(для наглядности мы пишем t вместо л;0). Следовательно, значение
интеграла
j* n*uaY - g dx, dx^dxs = тс (63.09)
есть постоянная, от времени не зависящая. Но величина р* отлична от нуля
только в окрестностях одной точки. Поэтому множитель и0 при ней мы
можем вынести за знак интеграла с его значением
в этой точке. Это значение равно
" .... (63.10)
d' V gnn -f- 2йоЛ' "г Sikxixk
где х, есть координата материальной точки и х, - производная от нее по
времени. Пользуясь этим значением "°, получаем
/ '/V-gdxxdxidx., - m VgO0-\-2g0ixi->r gacXiXk. (63.11)
Интеграл действия S получается отсюда умножением на с2 dt и
интегрированием по времени. Таким образом,
t
S = тс2 / Vgm -f 2goixt -f gikxiXk dt = me2 f d-z. (63.12)
i(0)
19 Зак. -ISO. В. А. Фок
290
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
(гл. Vi
Но это выражение только множителем отличается от рассмотренного в § 38
интеграла, вариация которого дает уравнения геодезической линии. Таким
образом, вариационное начало
приводит к уравнениям движения свободной материальной точки, совпадающим
с уравнениями геодезической линии.
Выведем эти уравнения другим путем, исходя из равенства нулю расходимости
тензора массы.
Формула (63.01) может быть подробнее написана в виде
Yt (V- S т0')+±(V-g Ть)+V-gTW* = 0. (63.14)
Умножая ее на dx1dx2dx.i и интегрируя по объему, на границах которого
тензор 7,|XV исчезает, будем иметь
Сюда мы можем подставить выражения (63.02) для составляющих тензора
массы. Предыдущая формула по умножении на с- примет вид
Интегралы здесь могут быть вычислены при помощи того же приема, как и
интеграл (63.11). Мы имеем, вследствие (63.09),
где все величины взяты в точке, в которой находится частица. Заменяя dt
тпс
на a°dt и сокращая на общий множитель , получим из (63.16)
Это -явная форма уравнений геодезической линии. Мы еще раз убедились, что
уравнения свободного движения материальной точки совпадают с уравнениями
геодезической линии. Наш вывод показывает, что эти уравнения могут быть
получены непосредственно из
85 = 0
(63.13)
±\ dt ,
("У- g 7'°''йхх dx:,dx.AJ У-gFl^Ta^ dxldx2dx.i = 0. (63.15)
+ J Yltfu УУ- gdxxdx.2dx, = Q. (63.16)
(63.18)
(63.17)
(63.19)
или
(63.20)
§ 63] УРАВНЕНИЯ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 291
равенства Va7'|i" = 0 путем интегрирования по объему и последующего
перехода к случаю сосредоточенной массы.
Заметим, что если взять за независимую переменную не собственное время т,
а просто время t = х0, и если умножить предыдущие /*\2
уравнения на 1^-1 , то они напишутся:
сРх,. dx,. п йхл dx о " dx^ dx"
-гг-эг^-зг-зг + к*тт = °- <63-21>
Уравнение, соответствующее значению у = 0, приводится к тождеству.
Стоящая в левой части уравнений движения величина
= + (63.22)
представляет, согласно (46.26), контравариантный вектор ускорения
частицы.
Выясним, о каком ускорении здесь идет речь. При отсутствии поля тяготения
величина W представляла обычное ускорение: в галилеевых координатах
пространственные компоненты этого вектора переходили, в нерелятивистском
приближении, во вторые производные от декартовых координат частицы по
времени. При наличии поля тяготения это будет уже не так. Чтобы выяснить,
во что переходят в этом случае величины W1 в нерелятивистском
приближении, можно вычислить приближенные значения скобок Кристоффеля Г^,
вытекающие из найденных в § 55 значений фундаментального тензора.
Соответствующие вычисления удобнее отложить до § 65, а здесь мы приведем
готовые результаты. Для величин с нулевым верхним
значком получаются значения
Ti° _____1 . ро _____ 1 "
i(,o- С2 W ' Lat~~ (ЬЗ.23)
тогда как остальные будут малы. Из величин Гс пространственным верхним
значком наиболее важными будут
К" = -|С Св3.24>
Далее, нам нужно иметь приближенные выражения для четырехмерной скорости.
Обозначая через
"< = § (63.25)
обыкновенную скорость, мы можем приближенно положить
(63.26)
dz
dt_
dz
(63-27>
19*
292
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Подстановка этих выражений в формулу (53.22) дает
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed