Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
с-? Pikvk<
(66.07)
'За Pikvk'
j- (66.01)
300
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
параграфа уравнениям, а именно:
1 AFT
тт == о,
Т°° = 0.
дТ00 , dTok 1 dU
dt 1 dxk ' C* dt
dTi о dTik dU
dt 1 dxk dx{
(66.08)
Эти уравнения должны удовлетворяться в силу уравнений движения для
величин, входящих в тензор массы. Мы имеем, во-первых, уравнение
неразрывности
я+а-Цг = ° (66Л!"
и, во-вторых, уравнения движения упругого тела в поле тяготения dU
с ускорением :
Кроме того, имеет место соотношение (66.02) между тензором напряжений и
упругой потенциальной энергией. Используя (66.09), (66.10) и (66.02),
получаем для скаляра и вектора Умова соотношение
dt+d7t = -9Tt> (66Л1)
откуда, после применения (66.09),
дТ00 dTvk __ 1 dU
dt dxk с4 Р dt ' ( • )
Вследствие того, что приближенно р = с2Т°°, уравнение (66.12)
в должном приближении совпадает с первым из уравнений (66.08). Что
касается остальных уравнений (66.08), то, по умножении на с2, они
приближенно совпадут с уравнениями движения (66.10), написанными в форме
i$!a+*JE?4?-fg=°
(в выражениях Ti0 и Т00 здесь достаточно взять главные члены).
Таким образом, уравнения (66.08), выражающие равенство нулю расходимости
тензора массы с учетом неевклидовости, действительно будут приближенно
выполнены, если взять в качестве тензора массы величины (66.07).
В формулах (66.07) плотность р удовлетворяет уравнению неразрывности
(66.09). Соответствующее общековариантное уравнение имеет вид
^(V"==l-pV) = 0, (66.14)
§ 67] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СКОБОК КРИСТОФФЕЛЯ 301
где f/^-инвариантная плотность и и* - четырехмерная скорость. Чтобы оба
выражения [(66.09) и (66.14)] совпадали, мы можем положит].
1
pVi = ~V ~gf"'*
(66.15)
(множитель - добавлен для того, чтобы р* приближенно равнялось р). Имея в
виду, что, согласно (65.07) и (63.27),
1/^=1+^; "°= 1+^(4^ + ^), (66.16)
мы получим приближенно
P* = P(1-^(i^+3f/)|- <66Л7>
Формулы (66.07) позволяют написать выражение для инварианта тензора
массы. Вводя давление р по формуле
Р = -j(/>ll + />22 + />33). (66.18)
мы будем иметь
т=р{\+Ц~^+п~ш))~Ь} <66Л9>
и, используя формулу (66.17) для р*.
7'=р*(1+§)-|-р- (66-2°)
Последнее выражение совпадает с (32.30).
§ 67. Приближенные выражения для скобок Кристоффеля и для некоторых
других величин
Для того чтобы сделать следующий шаг в определении фундаментального
тензора, мы должны продолжить вычисления § 55. Так как мы ведем все наши
вычисления в гармонических координатах, удобно рассматривать в качестве
неизвестных функций умноженные
на У-¦g контравариантные компоненты фундаментального тензора, т. е.
величины
дрт = У - g gv-\ (67.01)
Удобство применения этих величин состоит в том, что выраженное через них
условие гармоничности (55.39) принимает простой вид:
_ п
302
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
так что оно является линейным относительно неизвестных функций.
Дальнейшим преимуществом такого выбора неизвестных функций является то,
что пространственные компоненты весьма мало отличаются от постоянных.
Наконец, весьма удобным является то обстоятельство, что в левую часть
каждого из уравнений тяготения входит оператор Даламбера от
соответственной компоненты g|iV; таким образом, каждая компонента в
основном связана только с одной (одноименной) компонентой тензора массы.
В § 55 мы нашли для величин приближенные выражения [формулы (55.38)]:
где U - ньютонов потенциал, а (У*- вектор-потенциал тяготения. Мы уточним
теперь эти выражения, выписав дальнейшие члены разложения по обратным
степеням скорости света. Положим
При помощи этих выражений мы можем вычислять скобки Кристоффеля и другие
величины, входящие в уравнения тяготения.
Начнем с вычисления определителя g. Как легко проверить [см. формулу
(Б.67)], этот определитель равен определителю из Формулы (67.04) дают
Здесь мы положили, в соответствии с принятым условием для суммирования по
пространственным значкам,
(67.03)
= - сЪцс ,
(67.04)
(67.05)
(67.06)
Извлекая квадратный корень, получим также
§ 67] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СКОБОК КРИСТОФФЕЛЯ 303
Введем особое обозначение для корня четвертой степени
(67.08)
Согласно (67.06), эта величина равна
/=1+^ + ст(5-5№-| и2)- (67.09)
Величина / приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению, которое будет выведено в следующем параграфе.
Из (67.04) и (67.07) получаем для с2^00 выражение
сую = 1 + Щ. + 2-^+2gf -- . (67.10)
Если мы положим
и* = и + (S + Skk - (67.11)
мы будем иметь с той же точностью
= J<67Л2>
а также
Jr& = S(W-13)
Величина U' встретится нам в дальнейшем.
Переходим к вычислению введенных в Добавлении Б величин
<6714)
связанных со скобками Кристоффеля. Используя выражения (67.04) и (67.05),
получаем следующую таблицу:
о. on 2 dU
304
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
(ГЛ. VI
Отсюда, спуская второй и третий верхние значки, получаем величины П?з- Мы
имеем:
П
П
(1 2 dU
00 -¦= с2 dt '
0 2 dU
ог = - с2 дхг'
и= о й
(67.17)
К!
