Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(63.28)
(63.29)
(суммирование по А от 1 до 3 здесь подразумевается).
Из этих формул видно, что пространственные компоненты вектора да"
представляют ускорение частицы за вычетом ускорения силы тяжести, а
нулевая компонента пропорциональна производимой в единицу времени над
частицей работе всех сил за вычетом силы тяжести.
Таким образом, при наличии поля тяготения четырехмерный вектор ускорения
W соответствует ускорению за вычетом ускорения силы тяжести. Понятно
поэтому, что при свободном движении частицы в поле силы тяжести этот
вектор равен нулю.
§ 64. Общая постановка задачи о движении системы масс
Сб'''ая хаоактеристика интересующей нас задачи была уже дана в § 54. Мы
рассматриваем здесь задачу астрономического типа, т. е. задачу о движении
небесных тел в свободном пространстве. Как известно из астрономических
наблюдений, в мировом пространстве масса распределена далеко не
равномерно: подавляющая ее часть сконцентрирована в виде отдельных
небесных тел, находящихся на больших расстояниях друг от друга. Сообразно
этому, мы будем считать, что компоненты тензора массы равны нулю во всем
пространстве, кроме некоторых отдельных областей, размеры которых малы по
сэавнению с их расстояниями; каждая такая область соответствует небесному
телу.
Внутри каждого тела тензор массы должен, во-первых, соответствовать
принятой физической модели этого тела (газ, жидкость, упругое тело и т.
п.) и, во-вторых, должен удовлетворять условию
выражающему равенство нулю его расходимости. Соответствие физической
модели означает, что компоненты тензора массы определенным образом
выражаются через функции состояния физической системы, образующей данное
тело [плотность, скорость, давление и другие величины, см., например,
(55.02)].
Кроме физических свойств данного тела, вид тензора массы, как и всякого
тензора, будет зависеть также от метрики. Помимо функций состояния в
собственном смысле, компоненты тензора массы будут поэтому содержать
также фундаментальный тензор. Фундаментальный
(64.01)
§ 64] ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ МАСС 293
тензор и его производные входят также в выражение (64.01) для
расходимости.
Таким образом, для того чтобы написать тензор массы, уже нужно знать
метрику. Но метрика определяется из уравнений Эйнштейна, в правой части
которых стоит тензор массы. Отсюда ясно, что определение тензора массы и
фундаментального тензора может быть произведено только совместно.
Сравним рассматриваемую здесь задачу с теми, какие встречаются в теории
тяготения Ньютона. Там обычно задача ставится так, что плотность масс
предполагается известной, а по ней определяется потенциал тяготения. Но в
ньютоновой теории есть и другие, более сложные задачи, в которых
потенциал должен определяться одновременно с плотностью. Такова,
например, знаменитая задача о фигурах равновесия вращающейся жидкости -
задача, которой занимались у нас Ляпунов, а за границей Джинс и Пуанкаре,
и строгое решение которой было дано Ляпуновым в его посмертном
мемуаре]21-'2'2]. Занимающая нас задача эйнштейновой теории напоминает по
своему характеру задачу Ляпунова, только вместо двух скалярных величин
(ньютонова потенциала и плотности) определению теперь подлежат два
тензора: фундаментальный тензор и тензор массы. Кроме того, в нашем
случае речь идет не о равновесии, а о движении. Заметим, что основное
уравнение задачи Ляпунова встретится и у нас (§ 73).
Наша задача облегчается, прежде всего, тем, что метрика всюду мало
отличается от евклидовой; о малости отклонений дает представление
табличка, приведенная в § 58. Другим упрощаюдим обстоятельством является
то, что на сколько-нибудь значительном расстоянии от каждого тела метрика
зависит не от деталей его внутренней структуры, а от некоторых его
суммарных характеристик. Таковыми являются: полная масса данного тела,
его моменты инерции, положение и скорость его центра тяжести и
другие. От этих величин зависит и ньютонов потенциал тела.
Для решения уравнений Эйнштейна мы будем пользоваться приближенным
метолом, который представляет развитие способа вычислений, примененного в
§ 55. Этот способ основан на разложении всех искомых функций по обратным
степеням скзрости света. Такому формальному разложению соответствует
фактически разложение по степеням некоторых безразмерных величин.
Таковыми являются величины (7/с2 и гл2/с2, где U - ньютонов потенциал, a
v1 - квадрат некоторой скорости (скорости одного из тел).
Для систем, к которым
применима теорема вириала, обе эти величины (U и д°) будут одного
порллка, скажем, поргка q\ где q- екоторый параметр, имею ий размерность
скозосги (этим параметром мы уже польз вались в §§ 55 и 58). В качестве
безразмерного параметра, по которому ведется разложение, можно тогда вз
:ть величину q'2lc2.
''е цач волнозое уравнение путем введения поправок на запаздывание, мы
тем самым предполагаем, что размеры системы малы по
294
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
