Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вариационному принципу можно придать несколько другую форму, взяв вместо
инвариантного интеграла
1= J RV^gidx) (60.04)
другой, хотя и не инвариантный, но не содержащий зато вторых производных.
В Добавлении Б выведена формула
R - ОУ - Г - L, (60.22)
где ?_)/ есть оператор Даламбера (Б.51), причем у =\gY - g.
Величина Г выражается формулой (Б.43), а величину L можно, со-
гласно (Б.54), написать в виде
L = (1*,Г* - Ot), (60.23)
а также во многих других видах, приведенных в Добавлении Б.
При помощи обозначений (Б.59) и (Б.61) можно, вместо (60.22), написать
также
R - ~тт== (V^-g (У - Tv)) - L. (60.24)
У - g дх,
Интеграл / будет отличаться от выражения
t - - j L Y~~~g(dx) (60.25)
на величину
/,=г,))(^ (60-26)
которая приводится к интегралу по поверхности и вариация от которой равна
нулю. Поэтому вариации интегралов / и /* равны:
8/ = 8 J RV^g(dx) = -b J LV^g(dx) = ?J*. (60.27)
Поскольку в вариационном начале важны не самые варьируемые
интегралы, а лишь их вариации, можно в формуле (60.20) заменить / на /*.
При этом величина 8/* (равная 8/) от координатной системы не зависит,
несмотря на то, что самый интеграл Г может зависеть от координатной
системы. Целью замены I на/*явзяется исключение
278
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
из нодинтегрального выражения вторых производных. Вытекающая из (60.19) и
(60.27) формула
8 J L V^g (dx) = J ( R*9 - 1 g*R) bg# V(dx) (60.28)
может быть, разумеется, выведена и непосредственно, хотя соответствующие
выкладки довольно сложны.
§ 61. О локальной эквивалентности полей ускорения и тяготения
Под принципом эквивалентности в теории тяготения понимают утверждение,
согласно которому поле ускорения в каком-то смысле эквивалентно полю
тяготения.
Принцип эквивалентности связан с фундаментальным законом равенства
инертной и весомой массы, но с ним не тождественен. Закон равенства
инертной и весомой массы, которым! мы пользовались в § 51 при выводе
уравнений тяготения, имеет общий, а не локальный характер, тогда как
эквивалентность между полем ускорения и полем тяготения имеет место
только локально, т. е. относится к одной точке пространства и к одному
моменту времени.
Эквивалентность заключается в следующем. Путем введения надлежащей
координатной системы (которая обычжо толкуется, как ускоренно движущаяся
система отсчета) можно так преобразовать уравнения движения материальной
точки, находящейся в поле тяготения, что они будут (в новой системе
отсчета) иметь вид уравнений движения свободной материальной точки. Тем
сашым поле тяготения как бы заменяется (или, лучше сказать, имитируемся)
полем ускорения. Благодаря закону равенства инертной и вегсомой массы
такое преобразование будет одно и то же для любого Значения массы
материальной точки. Но оно будет достигать своей щели только в бесконечно
малой области пространства и в течение; бесконечно малого промежутка
времени, т. е. оно будет строго локальным.
В общем случае указанное преобразование математически соответствует
переходу к локально-геодезической системе координат (§ 42).
Можно пытаться толковать принцип эквивалентности менее локальным образом,
т. е. применять его не к бесконечно малой, а к конечной области
пространства, в которой, олднако, поле должно быть однородным. Но тогда
этот "принцип" будет справедлив лишь в той мере, в какой справедлива
ньютонова механика. Он будет иметь место лишь для слабых однородных
поле;й и для медленных движений (см. разобранный ниже пример).
Принцип эквивалентности сыграл большую ро>ль в период, предшествовавший
созданию Эйнштейном его теории тгяготения. Приведем одно из относящихся к
тому времени рассуждений Эйнштейна и проанализируем его.
§61] О ЛОКАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТН. ПОЛЕЙ УСКОРЕНИЯ И ТЯГОТЕНИЯ 279
Эйнштейн иллюстрирует свою "гипотезу эквивалентности" на примере
лаборатории внутри падающего лифта. Все предметы внутри такого лифта как
бы лишены тяжести: все они падают, вместе с лифтом, с одинаковым
ускорением, так что их относительные ускорения равны нулю, даже когда они
не закреплены относительно дна и стенок лифта. Мы имеем, говорит
Эйнштейн, две системы отсчета: одну инерциальную (или почти
инерциальную), связанную с землей, и другую, ускоренную, связанную с
лифтом. В первой, инерциальной, системе существует поле тяготения, во
второй, ускоренной, оно отсутствует. Таким образом, по Эйнштейну,
ускорение может заменить собой тяготение, или, по крайней мере,
однородное поле тяготения. Эту мысль Эйнштейн развивает и дальше. Он
предлагает считать, что обе системы отсчета (ускоренная и неускоренная)
физически вполне равноправны, и указывает, что с этой точки зрения
говорить об абсолютном ускорении так же невозможно, как и об абсолютной
скорости.
Разберем изложенную точку зрения Эйнштейна подробнее. Прежде всего
возникает вопрос: что такое ускоренно движущаяся система отсчета и как
она может быть физически реализована? В примере с лифтом "система
отсчета" как бы отождествляется с некоторым ящиком (с клеткой лифта). Но
