Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 96

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 167 >> Следующая

которая при движении не меняется и удовлетворяет уравнению неразрывности
(48.29), а величина П есть отнесенная к единице массы потенциальная
энергия упругого сжатия жидкости, определяемая формулой (48.30). Если
проварьировать интеграл 5 по компонентам
фундаментального тензора, то получится
l9S = 0 (60-°3)
где Т^ есть гидродинамический тензор массы, определяемый формулой
(48.39). В случае электродинамики интеграл действия имеет вид
(47.37); главный член, зависящий от массы покоя, в нем тот же, как в
гидродинамическом случае. Вариация электродинамического интеграла
действия по величинам gтакже имеет вид (60.03), где уже есть
электродинамический тензор массы, определяемый формулами (46.22) и
(46.32). Что касается вариации интеграла действия по другим входящим в
него функциям (по смещениям и составляющим поля), то такая вариация дает,
как мы знаем, уравнения движения рассматриваемой материальной системы.
Мы будем предполагать, что рассматриваемая система такова, что для нее
справедлива формула (50.03), где 5-соответствующий интеграл действия.
Тогда тензор массы, входящий в правую часть уравнений тяготения (60.01),
может быть представлен, как коэффициент при 8g^., в выражении для
вариации некоторого интеграла. Попытаемся представить в аналогичном виде
также и левую часть уравнений тяготения, т. е. консервативный тензор.
Для этого рассмотрим интеграл
f = jRY^g(dx), (60.04)
где R - скаляр кривизны, и составим его вариацию.
При вычислении вариации подинтегральной функции мы воспользуемся тем, что
вариации скобок Кристоффеля Г?ч представляют тензор (хотя самые скобки
Кристоффеля тензором не являются). Это доказывается следующим образом.
Согласно (42.04), закон преобразования скобок Кристоффеля имеет вид:
§ 60] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ 275
Эта формула справедлива для величин Г^. относящихся к данной метрике
(gap). Произведем здесь вариацию метрики, сохраняя связь между старыми и
новыми координатами. Метрике (ga$ -}- og^) будут
соответствовать величины 8Г?.,, причем будет
г, дх' " , дх' дхо
8гЕ,~ = (зед (бо.об)
что и доказывает, что вариации 8Г^ представляют смешанный тензор третьего
ранга.
При составлении вариации скаляра R мы будем исходить из выражений
^ ~ ~dxf- + № - №• (60.07)
<ЭГ" е>Г'
= if - df+ г№ - Г>"Гр* (60.08)
для смешанных компонент тензора кривизны четвертого ранга и для тензора
кривизны второго ранга. В системе координат, геодезической в данной
точке, вариация R^ равна
= -(60.09)
так как в этой точке все скобки Кристоффеля равны нулю. Отсюда
g^SR^ = g(tm) А №) _ g'-' JL(60.10)
(после перестановки некоторых значков в первом члене справа). Введем
вектор
(6o.il)
Нетрудно видеть, что равенство (60.10) равносильно следующему:
g'^oR,., = - г1- ~(V - g(tm)% (60.12)
у - g дха
так как в геодезической системе координат можно величины
gF* = - ggr* вынести из-под знака производной. Но обе части
равенства (60.12) представляют скаляры; поэтому, если это равенство
справедливо в геодезической системе координат, то оно справедливо и
вообще.
Предположим, что на границах области интегрирования в интеграле (60.04)
исчезают не только самые вариации 8g,^" но и их производные, а
следовательно, и величины 8Г?"> а также вектор w*.
18*
276 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
Тогда, написав интеграл / в виде
I = / V^g(dx) = f /г, ,Г' (dx), (60.13)
мы получим для его вариации выражение
8/= J*/^,8JT (<*¦*), (60.14)
так как, в силу равенства (60.12), будет
J §"и.V g^ V^g (dx) = 0. (60.15)
Используя формулы
- g=jV - gg*?bgah (60.16)
8gt" = - gvg't 8ga?, (60.17)
получаем
8Гv = b(V - gg-'1) = V - g (д gv'gJp - g^g^j %g<$• (60.18)
Подставляя это выражение в (60.14) и производя суммирование
по р. и по V, будем иметь:
6/= g*"R - Ra^j bgapV~g(dx). (60.19)
Наша ближайшая цель достигнута: консервативный тензор представлен в виде
коэффициента при вариации фундаментального тензора.
Сопоставляя формулы (60.03) и (60.19), мы приходим к выводу, что вариация
выражения
w=s-TSi> <60-20>
по компонентам фундаментального тензора равна
°i\ -(60.21)
Эта вариация исчезает в силу уравнений тяготения (60.01). В свою очередь,
уравнения тяготения могут быть получены из вариационного начала &W = 0,
если производить вариацию по компонентам фундаментального тензора и
считать величины 8g,x., произвольными. (Напомним, что в § 48 мы уже
рассматривали вариацию интеграла действия по gpWI но там величины 8gy, не
были вполне произвольными, так как соответствовали бесконечно малому
преобразованию координат и выражались через четыре функции д,).
bgW--
§ 60] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ 277
Варьируя же W по остальным функциям, входящим в интеграл действия S, мы
получим уравнения движения и уравнения поля для этих функций.
Таким образом, уравнения тяготения (для гравитационного поля)
объединяются с уравнениями для других полей (поле скоростей вещества,
электромагнитное поле и др.) в одном общем вариационном принципе.
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed