Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. VI
сравнению с длиной излучаемых волн (в данном случае, гравитационных). Это
предположение не является независимым от предыдущих. В самом деле,
обозначив через ш угловую частоту обращения планеты и через R радиус ее
орбиты, мы можем написать условие малости размеров системы в виде Я<^с/ш,
так как с/ш есть деленная на 2ir длина гравитационной волны. С другой
стороны, условие малости скорости планеты v = Ro> по сравнению со
скоростью света напишется в виде /?со с, а это неравенство совпадает с
предыдущим.
Как мы уже отмечали в конце § 54, нас интересуют "квази-ста-ционарные"
состояния гравитационного поля, т. е. такие, которые устанавливаются
после многих обращений планет. Решения волнового уравнения, получаемые
путем введения поправок на запаздывание, условию квази-стационарности
удовлетворяют.
Мы уже упоминали о том, что в большинстве астрономических задач
расстояния между небесными телами весьма велики по сравнению с их
линейными размерами. Если R есть длина, характеризующая порядок величины
расстояний, a L - длина, характеризующая линейные размеры тел, то имеет
место неравенство
1<С^- (64.02)
Использование этого неравенства вносит значительные упрощения в
вычисление потенциала тяготения, а также фундаментального тензора, вне
масс: как мы уже говорили, эти величины не будут тогда зависеть от
деталей внутренней структуры тел. Поэтому мы будем пользоваться также и
неравенством (64.02), хотя оно является менее существенным, чем
неравенства v-<^c2 и U <^с2, на которых основан наш метод решения
уравнений Эйнштейна.
Заметим, что на поверхности и внутри тела, где потенциал тяготения
наибольший, будет, по порядку величины,
U/с2 = ajL, (64.03)
где а - гравитационный радиус тела (см. табличку в § 58). Поэтому оба
используемых неравенства можно записать в виде
"</.<". (64.04)
Наша задача состоит в определении фундаментального тензора и тензора
массы. Зная компоненты тензора массы в функции координат и времени, мы
тем самым будем знать и движение массы, так как массы занимают области, в
которых тензор массы отличен от нуля. Существенно отметить, что движение
этих областей не может быть предписано наперед; закон движения вытекает
из самих уравнений тяготения.
В результате решения нашей задачи мы, во-первых, получим для тензора
массы и для фундаментального тензора приближенные выражения, которые
будут содержать некоторые неизвестные функ-
§ 65] РАСХОДИМОСТЬ ТЕНЗОРА МАССЫ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 295
ции. Во-вторых, мы получим для этих неизвестных функций уравнения,
которые позволяют их определить из начальных условий (уравнения
движения).
Выбор упомянутых здесь неизвестных функций подсказывается ходом решения
задачи. Естественным образом входят в решение те величины, которые
применяются уже в ньютоновой механике. Таковы, например, координаты
центра тяжести каждого из тел, его полная масса, момент количества
движения, моменты инерЦии и другие интегральные характеристики тела.
Для всех этих величин получаются уравнения движения, которые в первом
приближении совпадают с ньютоновыми, а в следующем приближении отличаются
от ньютоновых малыми поправками. Для нас представляют интерес как эти
поправки, так и выражения для фундаментального тензора и для других
величин эйнштейновской теории через ньютоновы величины.
§ 65. Расходимость тензора массы во втором приближении
Задачу совместного определения тензора массы и фундаментального тензора
мы будем решать последовательными этапами, исходя из рассуждений § 55.
Напомним ход этих рассуждений. В исходном приближении метрика принималась
евклидовой, что соответствует полному пренебрежению силами тяготения. В
этом приближении можно было наперед указать лишь компоненты Г00 и T0i
тензора массы. Согласно формуле (55.03), в галилеевых координатах эти
компоненты равны
где р - плотность и vt - скорость вещества в данной точке, причем
Пространственные компоненты {Tik) в этом приближении не определялись;
предполагалось только, что их порядок величины такой же, как в отсутствии
сил тяготения.
Этих предположений относительно тензора массы оказалось достаточно, чтобы
определить метрику в первом приближении. Согласно формулам (55.31), мы
имеем
д? , v d(pvj) _ п dt~r 2и дх{ -
(65.02)
(65.03)
296
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VI
где U - ньютонов потенциал тяготения, удовлетворяющий уравнению
a Ui - вектор-потенциал тяготения, удовлетворяющий уравнению
Следует помнить, что потенциалы U и Ui связаны с плотностью массы р и
потока массы pvt не-локальным образом: значения потенциалов внутри
данного тела зависят от распределения плотности во всем пространстве, а
не только внутри того же тела.
В § 55 приведены также формулы для контравариантных компонент
фундаментального тензора, а именно:
Знание метрики в том приближении, какое дается предыдущими формулами,
позволяет сделать следующий шаг в построении тензора массы. Для этого мы
должны прежде всего более точно написать выражение для его расходимости,
