Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
7. Jury E. I., Theory and Applications of the z-Transform Method, John Wiley, New York, 1964.
ПРИЛОЖЕНИЕ П2.1 ОПЕРАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ
На протяжении всей этой книги нам потребуется выполнять различные операции с преобразованиями Фурье. Ниже приводится их сводка.
Изменение масштаба времени и сдвиг начала координат. Если s(t) имеет преобразование Фурье S(f), то преобразование Фурье от s(at + ?) равно
* ^"'-»sf-f). (П2.1.1)
e~nt' равно
Пример. Из табл. 2.5 мы видим, что преобразование Фурье от
S{f) = e-f\
Следовательно, преобразование Фурье от равно
I 1/? о I J**'™ S{V^ of) = °e-J2*f»e~W,
где
а = ¦ , B=---— , — =— а.
У2к « ґ )А2« а а г
Дифференцирование. Если s(t) имеет преобразование Фурье S(f), то m-я производная s<m>(0 имеет преобразование Фурье
(/2*/Г 5(/) (П2.1.2)
при условии, что эта производная существует.
Пример. Как и в предыдущем примере, используем пару преобразований из табл. 2.5:
S(O = в""'*. S(Z) = *-*'2.
Операторные свойства преобразований Фурье
75
Получаем, что преобразование Фурье от равно
j2izfS(f) = j2*fe-"f\
Интегрирование. Если s(t) имеет преобразование Фурье 5(f), то преобразование Фурье от Ims(t), где
t
Is(г)= j s(и)du,
—оо
равно
[-^f)m S (J)+ K^ (J)+ K2I'(Л+ ..• +КтЪт-1{Л. (П2.1.3)
Константы Ku К2, ..., Km в (П2.1.3) можно определить, используя значения функций s(t), ds/dt, ..., dms/dtm в нуле, например
сю
S(O)= j S{f)df.
— OO
Пример. Функция предыдущего примера
S(^)=—2^<Г*'2
имеет преобразование Фурье
5(/) = 7?/^.
Следовательно, преобразование Фурье от
t
S1 (/)==j s (и) du = e~%t*
— 00
равно
S1 if) = -j^j- S (Л + Кг* (Л = е~*ґ + /С,о (Л. Интегрирование обеих частей по f дает
OO
S1(O)= J df + Kx = \ +K1.
— 00
Но Si(O) = 1 и, следовательно, Kt = 0.
Симметрия. Если S(f) есть преобразование Фурье от s(t), то s(f) есть преобразование Фурье от S (—t).
76
Приложение П2.1
Пример. Преобразование Фурье от функции
5(0 = '
е~*, о о,
о, t < 0.
равно 5 (f) = 1/(1 +/2л/); Следовательно, преобразование Фурье от s(i) = 1/(1 — ?nt) равно
S(f)-[e~'' f>°>
(/)_1о, /<0.
Аналогично преобразование Фурье от s(t) = 1/(1+ /2л:/) равно
S(f)-o. />0.
Следовательно, преобразование Фурье от
2 _ 1 . 1 1 + (2к<)2 ~~ і _ j2nt "+" і + j2nt
равно
<Г1Л, -оо</<оо.
Свертки и теорема Парсеваля. Мы приведем эту теорему в более общем виде, чем результаты (2.1.16), (2.1.20), (2.1.26), выведенные в разд. 2.1. Обобщение утверждает, что если Si(I) и sz(t) — два комплексных сигнала с преобразованиями Фурье Si(f) и S2(f) соответственно, то
OO OO
J S1 (0 si (0 dt=] S1 (f) Sl (/) df, (П2.1.4)
—OO —OO
где звездочка означает комплексное сопряжение.
Иногда бывают полезны три специальных случая формулы (П2.1.4):
а) Если s*(t)=h(u— t), то (П2.1.4) сводится к
OO OO
J S1 (t) h(u-t)dt=\ S1 (f) H (f) epKfu df. (П2.1.5)
—OO —OO
б) Если Si(O и 5г(0 действительны, то (П2.1.4) сводится к
OO OO
J S1(Qs2(I)dt= J Sx(f)S2(-f)df. (П2.1.6)
Операторные свойства преобразований Фурье
77-
в) Если Si(O =s2(0 =s(t), то (П2.1.4) сводится к
со со
J \s(t)\*dt = J \S{f)?df. (П2.1.7)
— OO —OO
Теорема Парсеваля в форме (П2.1.7) включает в себя эту же теорему в форме (2.1.26), выведенную в разд. 2.1.
Заметим, что из-за симметрии преобразования Фурье сигнал и его преобразование можно поменять ролями. Например,
OO OO
a) j S1 (/) S2 (g-f)df=\ S1 (О S2 (t) e^8t dt, (П2.1.8)
—со —со
СО OO
б) \ Sx{f)S2{f)df= I Sl{t)s2{~t)dt, (П2.1.9)
—со —оо
а симметрия соотношения (в) видна непосредственно. Следует отметить, что упомянутые выше операторные свойства применимы точно так же к конечным и бесконечным рядам Фурье. Три формы теоремы ГТарсеваля, выведенные в разд. 2.1, служат примером этому.
Глава З
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд. 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов. Наконец, в разд. 3.3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия.
3.1. ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В гл. 1 было показано, что детерминистические модели не всегда могут адекватно описывать физические системы. Поэтому, когда системе свойственна неопределенность или она подвержена случайному изменению, необходимо использовать недетерминистические или случайные модели. Математическая теория, лежащая в основе таких случайных моделей, называется теорией вероятностей.
3.1.1. Дискретные случайные величины и распределения
В качестве примера физического процесса, которому свойственна неопределенность или случайная изменчивость, рассмотрим данные, приведенные на рис. 3.1. Они показывают флуктуации числа дефектных транзисторов в последовательных выборках объема 100, взятых случайным образом с выхода поточной линии. Такой выборочный контроль необходим для поддержания качества продукции, а график числа дефектных изделий х в зависимости от номера выборки называется диаграммой контроля качества.
