Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
1) Усиление (0 о, г<о g, t>o
2) Задержка »(*-т) 0, *<Ч 1, t
3) Интегрирование і t
4) Одиночная экспонента — е~"т T (1 -?-'/о
5) Одиночная экспонента с задержкой 0, *<Ч 4-«-('-т)/г, *>* о, го (1_в-«-*>/7), ,>t
6) Две последовательные экспоненты Ti-T2 (-п:-г"г')
7) Задержка по квадратичному закону (квадратичная задержка) <o^_ClV sin (ш„ Vl -С2 t) , е-^п1 sin (<й„ Vl-C2*+?)
Vi-«2 1--¦-.-l_ Vi-P sin tp — ]Л — С2
8) Дифференцирование | S' (о -S(O
9) Линейное упреждение в (0 + Tv (о 1 — Tb (t)
Система Частотная характеристика H (J) Усиление О (/) Фаза і (J)
1) Усиление g g 0
2) Задержка 1 -2тс/х
3) Интегрирование 1 J2*f 1 2тс/ 7С _ T
4) Одиночная экспонента 1 1 + /2тс/Г 1 {1 + (2«/T)2)'/' — arctg 2тс/7"
5) Одиночная экспонента с задержкой (1 + 7?/ T) 1 {{ + (2KfT)2]'1' — 2тс/т —arctg 2тс/Г
6) Две последовательные экспоненты 1 1 — arctg 2тс/Гі — arctg 2тс/Г2
(1 + /27:/7-,)(1 + 7271/7-2) ( [1+ (2^fT1)2} [1 + (2TcZr2)2]}''2
7) Задержка по квадратичному закону (квадратичная задержка) 1 1 ..... 2С (///„) — ЭГ Cttf "r-i / 1•Ij- vol
1 - (///„)2 + У'2С (///„) ' <й„ = 2тс/„ { [l-(///„)'2]2+[2(C///„)JT/2 в [1-(///«)2]
8) Дифференцирование 2тс/ TC т
9) Линейное упреждение 1 + у'2тс/Г {1 + (2тс/Г)2)'/2 arctg 2тс/Г
58
Г л. 2. Анализ Фурье
скачок, начинающийся на т сек позднее, как показано на рис. 2.7, а. Для экспоненциального отклика на единичный импульс отклик на
О f
Единичный импульс на «ходе
Единичный скачок на входе
8.
п(1)
Отклики на импульс
Отклики на скачок
Рис. 2.7. Отклики на единичный импульс и единичный скачок для некоторых
простых систем.
единичный скачок экспоненциально возрастает, стремясь к своему предельному значению, как показано на рис. 2.7, б. Для системы второго порядка (рис. 2.7, в) отклик на единичный скачок перехо-
2.3. Линейные системы и свертки
59'
дит свое предельное значение и затем колеблется около него с уменьшающейся амплитудой.
Когда t-*- оо, отклик на единичный скачок (2.3.9) стремится к значению
OO
g=\h{u)du, (2.3.10>
о
которое называется установившимся усилением системы, так как оно измеряет предельное значение усиления после того, как система возмущена единичным скачком и ей дана возможность дойти до нового установившегося значения.
Устойчивость. Система называется устойчивой [4], если ограниченные входные сигналы создают ограниченные сигналы на выходе. Ясно, что такое свойство желательно, так как в противном случае выходной сигнал неограниченно возрастал бы. Предположим, что \x(t) І </Сі в (2.3.5), где Ki — некоторая конечная константа. Тогда
OO OO
|у(/)|= j h{u)x{t — u)du < j \h(u)\\x(t — u)\du^
—CO —OO
OO
< AT1 j IА (и) I du,
— OO
так что достаточным условием для того, чтобы система была устойчивой, является
OO
J \k(u)\du<K2, (2.3.11)
-OO
где Кг — также некоторая конечная константа. Другая форма условия устойчивости будет дана в следующем разделе.
2.3.3. Частотные характеристики
Для входных сигналов, более сложных, чем импульс или скачок, вычисление выходного сигнала с помощью интеграла свертки (2.3.5) становится утомительным. Эта задача значительно упрощается при использовании анализа Фурье. Метод состоит в следующем: сигнал s(t) разлагают на его компоненты Фурье S(f) по формуле (2.1.24), затем находят отклик системы на периодический сигнал Si(O = е&лП и, наконец, суммируют все отклики по формуле (2.1.22), что и дает окончательный выходной сигнал. Сначала нужно узнать
60
Гл. 2. Анализ Фурье
отклик системы на входной сигнал x(t) = cos 2nft. Подстановка этого сигнала в (2.3.5) дает
OO OO
y(t) = Jh(и)cos2іс/(t — u)du = ji h(u) [cos2i:/rcos2ir/«-|-o о
+ sin 2«ft sin 2те/и] rf« = A {f) cos 2izft + ? (/) sin 2*//, (2.3.12)
где
Л (/) = J л (и) cos 2^f и du (2.3.13)
о
и
со
BiJ) = ^ h (и) sin 2¦Kf и du. (2.3.14)
о
Иначе (2.3.12) можно переписать в виде
у (O = О (/) cos [2ф + 9 (/)], (2.3.15)
где
G (J) = V A2 (J)+ BHf)
?(/) = arctg(-4$-).
Отсюда отклик на косинусоидальную волну частоты f является ко-синусоидальной волной той же частоты, но с амплитудой, умноженной на величину G (/), называемую коэффициентом усиления, и с фазой, сдвинутой на величину <p(f), называемую фазовым углом.
,Как и прежде, для удобства оперирования с формулами рассмотрим отклик на комлексный входной сигнал
еР*п = cost 4-/sin 2¦Kf t частоты f. В этом случае выходным сигналом будет
y(t) = H (/) eJ2*fl = G (/) eJ W + 9 (/)], (2.3.16)
где функция
OO
H(J) = O (/) eh (/) = J h (и) е~Пж{и du (2.3.17)
о
называется частотной характеристикой системы. Следовательно, частотная характеристика является преобразованием Фурье от функции отклика на единичный импульс.
Графики Бодэ. Частотные характеристики, коэффициенты усиления и фазы для некоторых простых систем приведены
2.3. Линейные системы и свертки
61
в табл. 2.6, а коэффициенты усиления и фазы изображены на рис. 2.8. Обычно на график наносят логарифм коэффициента усиления в зависимости от логарифма частоты и фазу в зависимости от логарифма частоты. Эти графики называют графиками Бодэ [5]. Графики на рис. 2.8 распадаются естественным образом на четыре категории.
