Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
'W= 2 8('-яд)- (2.4.6)
п = —OO
Это дает дискретизованный, или импульсно-модулированный, сигнал
Si{t) = s(t)i{t). (2.4.7)
2.4. Применения в анализе временных рядов
71
Следовательно, воспользовавшись теоремой о свертке (П2.1.8), находим
OO
S1 (/) = j S{f-g)I (g) dg, (2.4.8)
—со
где 1(g) является преобразованием Фурье от i(t). Используя для 1(g) выражение (2.2.16), преобразуем (2.4.8):
со со
5,(Я = j S(f-g)± 2 b{s~i-)dg =
—со П — — со
со
2М/-J")- (2-4.9)
п— —оо
Равенство (2.4.9) показывает, что дискретизованный, или им-пульсно-модулированный, сигнал Si(t) имеет периодическое преобразование Фурье с периодом 1/Д, и если S(f) обращается в нуль при 111 ^ 1/2А, то 5; (/) является просто периодически повторяемой функцией S(f), как показано на рис. 2.11, бив. Это означает, что можно восстановить S(f) по Si(f), умножив Si(f) на #(/), где
H(D-
А. \/\<4г
о. |/|> 1
2Д
(2.4.10)
2Д
Так как умножение в частотной области соответствует свертке во временной области, то отсюда следует, что
со
—OO
Функция sin (ли/A)/(nub) является идеальным фильтром для восстановления непрерывного сигнала s(t) из дискретизованного сигнала Si(t). Иначе говоря, функция sin (пи/А)/(ли/А) является идеальной интерполирующей функцией для равноотстоящих ординат, и формулу (2.4.11) иногда называют интерполяционной формулой Уиттекера.
Наложение частот. Если интервал отсчета таков, что 5(f) убывает до нуля, не доходя до |/| =1/2Д, как в случаях б или в на рис. 2.11, то можно восстановить s(t) по Si(t). С другой стороны, если S(f) не равна нулю за частотой fN= 1/2Д, то частотные компоненты от частот выше 1/2Д присутствуют в Si (f) в диапазоне частот — 1/2Д:?/^ 1/2Д, как, например, в случае (г) на рис. 2.11. Частота fjv = І/2А называется частотой Найквиста и является
72
Гл. 2. Анализ Фурье
наивысшей частотой, которую можно обнаружить на данных, полученных с интервалом отсчета А.
kS(f)
" (Заметно
наложение частот)
Рис. 2.П. Преобразования Фурье входного сигнала и дискретизованиых сигналов для различных интервалов отсчета.
Если, например, А = 0,1 сек, то частота Найквиста равна 5 гц. Преобразование Фурье Si(f) дискретизованного сигнала на 4 гц будет состоять из вкладов преобразования S (f) на 4 гц, на 10 + 4 = = 14 гц, на —10 + 4 = -6 гц, на 20 + 4 = 24 гц, на —20 + 4 = -16 гц и т. д. Все эти частоты, кроме первой, называются обычно двойниками (aliases) частоты 4 гц, а их влияние на преобразование Фу-
Литература
73
рье — явлением наложения частот (aliasing). Следовательно, при дискретизации по времени непрерывных временных рядов нужно надлежащим образом позаботиться о выборе достаточно высокой частоты отсчетов fx = 1/2Д, чтобы избежать искажающего влияния наложения частот на Si (f).
Явление наложения частот возникает в ряде практических ситуации, например при использовании стробоскопа или в кинофильмах. Гак, если в фильме колеса телеги приходят в движение, то вначале видно, что они вращаются в направлении движения, затем при возрастании скорости кажется, что направление вращения меняется !:а обратное и скорость колес уменьшается до полной остановки, затем они начинают вращаться с возрастающей скоростью в направлении движения и т. д.
Пример. Чтобы проиллюстрировать обсуждаемые в этом разделе вопросы, предположим, что желательно вычислить длину записи T и интервал отсчета А, необходимые для достижения некоторых целей. Предположим, известно, что изучаемый сигнал содержит две синусоидальные компоненты на частотах 100 и 99 гц. Тогда, если мы хотим различить эти пики в преобразовании Фурье, взятом от конечной записи, нам нужно, как показывает (2.4.5), взять 1/7" порядка 100—99= 1 гц, т. е. T должно быть порядка 1 сек. Чтобы оценивать частоты порядка 100 гц, величина 1/2А должна быть по меньшей мере 100 гц и, следовательно, А^5 мсек. Таким образом, нужно взять по крайней мере 200 точек.
Если бы нам захотелось различить две частотные компоненты на 999 и 1000 гц, необходимая длительность записи была бы все еще 1 сек, однако интервал отсчета в этом случае нужно было бы взять 0,5 мсек, так что потребовалось бы 2000 точек.
Следовательно, длина записи T определяет степень различимости пиков в преобразовании Фурье, а интервал отсчета А определяет максимальную частоту, которую можно различать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lighthill М. J., An Introduction to Fourier Analysis Generalized Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1959.
2. P a p о u 1 і s A., The Fourier Integral and its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962.
3. Courant R., Differential and Integral Calculus, Vol. II, Biackie and Son, London, 1952. (Русский перевод: Курант P., Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.—Л., ОНТИ, 1934.)
4. James Н. M., N і сh о 1 s N. В., Phillips R. S., Theory of Servomecha-nisms, NcGraw-Hill, New York, 1947. (Русский перевод. Джеймс X., H и-коле H., Филлипс Р., Теория следящих систем, M., ИЛ, 1953.)
5. Bode Н. W., Network Analysis and Feedback Amplifier Design, Van Nostrand, New York, 1945.
6. Campbell G. A., Foster R. M., Fourier Integrals for Practical Applications, Van Nostrand, New York, 1962.
