Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
a2 = E [X2]-if. (3.2.5)
Выражение (3.2.4) аналогично формуле для момента инерции стержня с неравномерной плотностью относительно его центра тяжести. При этом формула (3.2.5) просто утверждает, что момент инерции относительно центра тяжести равен моменту инерции относительно начала координат минус момент полной массы стержня, сконцентрированной в центре тяжести, относительно начала координат. Табл. 3.3 дает среднее значение и дисперсию для некоторых важных дискретных и непрерывных распределений.
Дисперсию дискретного распределения вероятностей можно оценить с помощью выборочной дисперсии
k
X=O
Аналогично среднее значение и дисперсию данных Х{ (i=l, 2, ..., п), соответствующих непрерывной случайной величине, можно оценить по формулам
я
X = — 2 Xp
i = l
п
S'2 = 2 U-^)2. (3.2.6)
3.2. Моменты случайных величин
93
Таблица 3.3
Некоторые важные функции распределения и их средние значения и дисперсии
Распределение Распределение вероятностей Среднее Дисперсия з2 значение ц '» г
Биномиальное Пуассона х = 0, 1, 2, .... п х>о * = 0, 1, 2, оо Пр(\-р) X X
Плотность вероятности Среднее Дисперсия зг значение р. к
Нормальное Прямоугольное (равномерное) Отрицательное показательное (экспоненциальное) 1 г 1 / X-V- V2I VT., ехр[ 2 ( - ) J' — оо ^ X OO а + b ' — e~xh\ 0<л:< со, ц > О H- H- а2 4-е-«) "V
Положительный квадратный корень а из дисперсии а2 называется стандартным отклонением. Его можно использовать для нормировки распределения, как мы сейчас покажем.
Нормированное нормальное распределение. Нормальная плотность вероятности (3.1.9) обладает тем важным свойством, что она полностью задается параметрами ц и о2, соответствующими среднему значению и дисперсии случайной величины. Следовательно, среднее значение у, и стандартное отклонение о можно использовать для нормировки плотности вероятности. Так, если X распределена по закону N(n, о2), то случайная величина
X-P- _____
94
Г л. 3. Теория вероятностей
имеет плотность вероятности
/у (у) = -pi=- e~yV\ - оо < у < со. (3.2.8)
Следовательно, К распределена как vV (О, 1). Плотность вероятности (3.2.8) называется нормированной нормальной плотностью вероятности.
Из (3.2.7) получаем, что случайная величина X лежит внутри интервала (\х— г\и, ц + цо), когда случайная величина Y лежит внутри интервала (—ц, +ц). Вероятность последнего события Рг{—г)<У г)} можно найти в стандартных таблицах [1, 6*]. Некоторые полезные значения т| приведены в табл. 3.4.
Старшие моменты. В общем случае одномерную плотность вероятности можно описать с помощью ее среднего \х и старших центральных моментов
= -р)*], ? = 2,3,..., (3.2.9)
так что дисперсия при этом соответствует k = 2. Значения \Xk для k>2 не имеют большой практической важности, поскольку, если некоторая плотность вероятности неадекватно описывается своим средним значением и дисперсией, то ее лучше представить с помощью соответствующей негауссовской плотности вероятности и затем оценить параметры этой плотности.
Моменты функций от случайных величин. Иногда нужно исследовать некоторую функцию Y = g(X) от случайной величины Хг например Y = InX. В этом случае моменты Y можно выразить через плотность вероятности X с помощью соотношений *>
OO
^m = J g(х)/х(X)dx,
— OO OO
Var [K]=J \g(x)-E[Y}YZx(X)dx (3.2.10)
—OO
и так далее.
3.2.2. Многомерные моменты
Результаты предыдущего раздела можно распространить на распределения более высокого порядка. Рассмотрим, например, функцию g(Xit X2, .... Xn) от случайных величин Xt, X2, ..., Xn,
*) Символом Var [...] всюду в этой книге обозначается дисперсия случайной величины.— Прим. перев.
3.2. Моменты случайных величин
95
ИМЄЮЩИХ СОВМеСТНую ПЛОТНОСТЬ ВерОЯТНОСТИ /і, 2, п (Xi, Хг, ...
..., Xn). Математическое ожидание g(Xi, X2, ..., Xn) равно
OO OO оо
E Ig(X1, X2, . . ., Xn)} = j j . . . j g(xu x2, . . ., xn) X
— OO —OO —оо
X/,2...B(*i. *a. • • •> Xn)Ox1Ox3 . . . uf*„, (3.2.11) что является многомерным аналогом равенства (3.2.10), упоминавшегося выше.
Если функция g(Xit X2, ..., Xn) распадается на множители g(Xu X2, Xn) = gi {Xi)g2 (X2).. .gn (Xn) и в дополнение
к этому случайные величины независимы, так что плотность вероятности также распадается на множители, то (3.2.11) переходит в
E [gi (X1) g2 (X2) ... gn(Xn)} = = E]gl (Xx)} E Ig2(X2)} ... E }g,,(Xn)}. (3.2.12)
Ковариация. Функциями g(Xit X2 Xn), представляющими особую важность, являются произведения случайных величин, например
g(Xlt X2) = (Хг-^1)(X2 -jx2)
для двумерного случая. Математическое ожидание этого произведения называется коварисщией между Xi и X2 и записывается
Cov [X1 ,Х2]=Е {(X1 - Jx1) (X2 - ;х2)] =
CO OO
= j j (X1 -[x1)(X2-[x2)Z12(X1, X2)Ux1Ux2. (3.2.13)
— СО —OO
Заметим, что из определения (3.2.13) следует, что Cov [Xi, X2] = = Cov [X2, X1] и что
Var [X1]= COv[X",, X1].
Если Xi и X2 независимы, то /i2(a:i, X2) = fi(xi)f2(x2) и, следовательно,
