Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
CoV[X1, X2] ^E[X1 -ix,] E [X2 -(x2I=O.
Таким образом, ковариация измеряет степень линейной зависимости двух случайных величин.
В спектральном анализе иногда приходится рассматривать ко-вариацию между функциями g(Xi, ..., Xn) и h(Xit ..., Xn), а именно
Cov [g (X1, .... Xn), Zi(X1, Xn)} = = Е [Ig(X1, .... Xn)- EIg(X1, .... Xn)]} X XjA(X11 . . ., XJ-E[Ii(X1, . . ., Xn)}}].
96
Г л. 3. Теория вероятностей
Например, ковариация между g(Xi, X2) = ХХХ2 и h(X3, Xi) = X3Xi равна
Cov [X1X2, X3X4] = E [(XxX2 - E[XxXJ)(X3X4 - E [X3X4])].
3.2.3. Моменты линейных функций от случайных величин
Рассмотрим произвольную линейную функцию XiXi + XzXz двух случайных величин Xx и X2- Используя (3.2.11), получаем
OQ OO *
E [кхХх ~\- I2X2] = j j" (IxXx -f- X2X2) /12 (хх, X2) dxx dx2 =
— оо —со
= ХХЕ [X1[^X2E [X2]. (3.2.14)
Следует отметить, что (3.2.14) справедливо, даже если Xx и X2 не являются независимыми. Вообще
E
(3.2.15)
В качестве примера рассмотрим математическое ожидание сред-
_ и
него арифметического X = (1/п) JT1 X1 набора случайных величин
с одним и тем же средним значением ц. Равенство (3.2.15) показывает, что
Г п ~1 п
I = I J і = 1
Следовательно, математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию отдельной случайной величины.
E[X] = E
Дисперсия линейных функций. Используя (3.2.13), получаем что дисперсия линейной функции XiX 1-,-K2X2 равна
Var [XxXx + X2A",] = ІІ Var [Xx] +
+ >| Var [X2] + 2X1X2 Cov [X1, Xn2].
И вообще
Var
X1X1
2 2 Cov [ A,, Xj],
і = 1
где CoV[A-,, A1-J=Vm-[A,).
Если Xi независимы, то (3.2.17) сводится к .
V.ir
і -- 1
/.? Var [AV].
(3.2.16) (3.2.17)
(3.2.18)
3.2. Моменты случайных величин
97
Рассмотрим, например, случайную величину X=(1In)^Xi, где Xi — независимые случайные величины с дисперсией о2. Тогда
V- [X] = ± (-L)'Var [*,, = iL.
Используя (3.2.15) и (3.2.18) при п—1, получаем полезный результат: нормированная случайная величина
У ^ Х — у-
о
имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию. Дальнейший важный результат [2, 2*] состоит в том, что если случайные величины Xi являются нормальными, то плотность вероятности случайной величины
п
Y = ^l1X1
і = і
также является нормальной со средним значением (3.2.15) и дисперсией (3.2.17).
3.2.4. Коэффициент корреляции
Выражение (3.2.16) для дисперсии линейной функции двух случайных величин обязательно является положительным числом или нулем для любых действительных значений Ai и X2.
Так как выражение в правой части является квадратным уравнением относительно Xi и X2, то из положительности дисперсии следует, что его корни являются комплексными. Отсюда
Var [X1] Vaг [X,] XCoV[^r11 X2])2, что можно переписать в виде
2 (Соу [X1, Х2])1_<1 (3 2 19)
pi2 Var [Xx] Var [X2) ^ J' [о.ЛЛУ)
Параметр ріг называется коэффициентом корреляции между Xi и X2- Он заключен в интервале —1 =^ріг^ + 1.
Мы уже отмечали, что если случайные величины независимы, то Cov [Xi, Хг] = 0 и, следовательно, рі2 = 0. Для двумерной нормальной плотности вероятности было показано и обратное: если Ріг = О, то случайные величины независимы. Однако если ріг = О для распределения, отличного от нормального, то случайные величины не обязательно являются независимыми. В этом случае их называют некоррелированными.
4 Заказ № 1210
98
Гл. 3. Теория вероятностей
Если pi2 = 0, то диаграмма разброса для пар величин (xi, х2), которые являются реализациями случайных величин (Xi, X2), была бы похожа на приведенную на рис. 3.8 а. Видно, что знание одного из членов пары никак не помогает в предсказании значения другого.
Для малых, но положительных значений pi2 диаграмма разброса была бы похожа на показанную на рис. 3.8,6; этот рисунок
' . A2= °.5
рп= 0,9
Рис. 3.8. Диаграммы разброса выборок двумерных нормальных случайных
величин.
соответствует значению ріг= +0,5. Теперь уже заметна слабая тенденция к группированию значений вдоль прямой линии. Так, большие значения х2 преимущественно соответствуют большим значениям Xu а малые значения X2 — малым значениям х\. Если бы коэффициент корреляции был равен —0,5, то наклон прямой, вокруг которой группируются значения, был бы отрицательным. Следовательно, большим значениям х2 преимущественно соответствовали бы малые значения х\, и наоборот. Для значений ріг, близких к единице, диаграмма разброса концентрируется около прямой линии, как показано на рис. 3,8, в; для этого рисунка ріг = +0,9. Следовательно, рі2 является мерой линейной зависимости между случайными величинами Xi и X2, и в предельном случае Pi2=I имеется точное линейное соотношение вида X2 = a + oXi.
3.2. Моменты случайных величин ^ ' \j9?>
Сравнение диаграмм разброса рис. 3.8 с диаграммами разброса данных акселерометра, приведенных на рис. 3.7, показывает, что эти данные имеют коэффициент корреляции между 0,5 и 0,9.
Формула для выборочной оценки pi2 коэффициента корреляции будет приведена в гл. 4; для акселерометрических данных она дает
значение ріг = 0,78. Эта величина достаточно мала и должна вызывать некоторое беспокойство относительно надежности визуального считывания показаний акселерометра пилотом!
