Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Диаграммы контроля дают наглядную картину изменения данных и используются для получения заблаговременных предупреждений о том, что произойдут изменения качества. Количественное утверждение об изменчивости можно получить, построив частотное
3.1. Частотные распределения и распределения вероятностей
79
распределение, как показано в табл. 3.1 и на рис. 3.2. Эти иллюстрации изображают пх — число выборок с х дефектными изделиями— как функцию от х для пятидесяти выборок, приведенных
20 г
I '5
'а
I W
Xi
є
і:
5
• • • •
• • • • •
• • • •
-»—г»-«-•-•-1
• • •• • • •
•• • • • •
„Средний • уровень*
IO
го зо
Номер выборки
40
50
Рис. 3.1 Число дефектных транзисторов в 50 выборках объема 100.
Таблица 3.1
Частотное распределение числа дефектных транзисторов в выборке (по пятидесяти выборкам объема 100)
X 0 I 2 3 4 5 6 7 8
Пх 0 О 0 3 2 7 9 7 5
X 9 10 11 12 13 14 15 16 Полное количество выборок
пх 6 4 2 0 2 0 0 1 50
на рис. 3.1. Частотное распределение показывает, что в то время, как число дефектных образцов в выборке изменяется от 1 до 16, большинство выборок (90%) имеет от 3 до 11 дефектных изделий.
80
Гл. 3. Теория вероятностей
Итак, полное число проверенных выборок равно
2 nx = N,
(3.1.1)
где k — наибольшая величина, которую может принять х (она равна 100 в этом примере). Отсюда следует, что
к
' ' п.
X =0
N
= 1,
(3.1.2)
Юг
I 8
_1_
/ Z 3 k 5 6 7 б Э 10 11 12 13 14 15 16 Число дефектных изделий х
Рис. 3.2. Частотное распределение для данных рис. 3.1.
где tix/N определяет долю выборок с X дефектными изделиями. Например, из рис. 3.2 видно, что 5 из 50, или одна десятая часть выборок, имеют равно 8 дефектных изделий.
Выборочные пространства, события, случайные величины и распределения вероятностей. Данные контроля качества можно описать, введя четыре основных понятия. Первым из них является выборочное пространство, которое представляет собой множество точек, соответствующих всем возможным исходам эксперимента. Например, при проверке 100 транзисторов выборочное пространство состоит из 101 точки P0, Pi, ..., Pioo, которые соответствуют 0, 1,2,..., 100 дефектным изделиям.
3.1. Частотные распределения и распределения вероятностей
81
Некоторая совокупность или подмножество точек выборочного пространства называется событием. Например, выборочные точки Po, Pi соответствуют событию «число дефектных изделий меньше двух». Каждая точка выборочного пространства соответствует простому событию.
Для того чтобы обращаться к различным событиям в выборочном пространстве, необходимо ввести понятие случайной величины. Напрпмер, точки выборочного пространства для данных о транзисторах можно обозначить по-другому, так, что точки P0 и Р\ будут соответствовать событию «случайная величина Y принимает значение у = 0», а точки P2, Рз, .... Рюо — событию «случайная величина Y принимает значение у=\». Таким образом, Y принимает значение у = 0, когда имеется меньше двух дефектных изделий, и у=\, когда имеется два или большее число дефектных изделий. Случайная величина обозначается обычно большой буквой, например X или Y, а численное значение, которое она принимает в конкретной выборке, обозначается маленькой буквой, например х или у.
Заметим, что события в выборочном пространстве можно обозначать многими способами. Например, некоторая случайная величина могла бы быть связана с числом дефектных изделий в выборке. В этом примере случайная величина X принимает значения х = 0, 1, 100.
В общем случайная величина является функцией, которую мо-жпо использовать для обозначения множеств или событий в выборочном пространстве.
Основными понятиями, необходимыми для описания примера с контролем качества, являются вероятность и распределение вероятностей. Вероятность равна отношению числа событий, в которых случайная величина X принимает значение х, к общему числу событий; она записывается рх (х). Множество чисел рх (х), х = 0, 1, 2, ..., 100, является распределением вероятностей. Каждая из вероятностей является неотрицательной величиной, и их сумма равна единице. Оценку рх (х) можно получить из наблюденных отношений nxjN, определенных в (3.1.2). При увеличении полного числа проверяемых транзисторов N отношения nx/N дают все лучшие и лучшие оценки вероятностей рх (х).
Иногда можно вывести математическую формулу для рх (х), сделав разумные физические предположения. Например, подходящим распределением вероятностей для описания задачи с транзисторами является биномиальное распределение
Рх'х) = (х )е*0 ~°)П~Х- х=0, Ь п, (3.1.3)
82
Гл. 3. Теория вероятностей
где п — объем выборки и 9 — вероятность того, что транзистор является дефектным.
Параметр 9 можно оценить по наблюденным данным с помощью следующего соотношения:
•q__Число дефектных транзисторов_ _ 355 _q
Полное число проверенных транзисторов 5000 ' .•"-«
Используя 0 вместо истинной величины 0, можно оценить вероятность того, что случайная величина X примет значение х, по формуле
