Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. Номера 1 и 2 имеют постоянный коэффициент усиления для всех частот и называются широкополосными системами *) (пропускающими все частоты).
2. Номера 3, 4, 5 и 6 таковы, что высокие частоты отфильтровываются или ослабляются системой, а низкие частоты пропускаются с различными коэффициентами усиления. Поэтому эти системы ведут себя как фильтры низких частот и соответствуют некоторой форме интегрирования или сглаживания входного сигнала.
3. Номер 7 соответствует колебательной системе, описываемой уравнением (2.3.8). Здесь график коэффициента усиления имеет резонанс, или пик, на частоте / = /п(1 — 2?2)'/s, где /„ — естественная резонансная частота системы.
4. Номера S и 9 имеют графики коэффициентов усиления, такие, что более низкие частоты ослабляются, а более высокие частоты проходят. Эти системы действуют как фильтры высоких частот и включают в себя дифференцирование входного сигнала. Дальнейшее различие между категориями (2) и (4) состоит в том, что в (2) интегрирование входного сигнала Приводит к отрицательным фазам <p(f), т. е. выходной сигнал запаздывает по отношению к входному. С другой стороны, в (4) дифференцирование входного сигнала дает положительные фазы, так что выходной сигнал опережает входной, как это имеет место на графике номер 9.
Ширина полосы частот. Удобный способ описания функции усиления линейной системы можно получить, используя ее ширину полосы частот [5]. Были предложены различные определения ширины полосы частот; в простейшем из них для определения используется такая полоса, в которой мощность уменьшается до половины максимального значения. Для системы, имеющей максимальное усиление на частоте /о, ширина полосы частот определяется как разность /2 — fu где fi и fz выбраны так, что
g2(/,) = g2 (Л)==-J-О* (/0).
Например, для одиночной экспоненциальной системы максимальное усиление достигается при fo = 0, а усиление, равное половине максимального, — при /і = 1/(2я7'). Следовательно, если T велико,
*> В оригинале all-pass systems. Иногда их называют «фазовыми системами», поскольку они воздействуют лишь на фазу.— Прим. перев.
Системо Функция усиления Фазовая характеристика
г.
3.
1 —¦ Простое усиление т^ п/2 l9f О tp(f)-0 ' igt-
Простое усиление с задержкой ig?M 0 Bit)-д -я igf I
Интегриро -шие 0,0 ¦lg fi W 0 IQf -її/2 •gf
W)
Одиночная экспонента ige(f) 0 2-nf'l/T lgf W)
Система Функция усиления_Фазоіая характеристик
S
6.
7.
8.
9.
Одиночная экспонента с задержкой ¦IgG(O 0 ч -л/2 ^V1Iq(O - Лростая^Ч. задержка v\ cffO Л
4se после-дователъмые экспоненты IgG(O 0 -^T4 -л/2 >v -я 2frf=l/Ti2jrf=l/tz ^ч^д^ W)
Затухающая синусоида или квадратичная задержка tgfi(0/\ 0 _г,: W)
Дифференцирование IgG(O/ / Я/2 W) ig г
Линейное упреждение і?е(0 / i п Фіг)
Рис. 2.8. Графики Бодэ для некоторых простых систем.
2.3. Линейные системы и свертки
63
то ширина полосы частот очень мала, как можно увидеть нарис. 2.8. Таким образом, отклик на единичный импульс будет очень широким и небольшим по амплитуде. С другой стороны, для малых T ширина полосы частот велика и отклик на единичный импульс очень высокий и узкий. В пределе, когда 7"-»-O, ширина полосы частот становится бесконечной, как для простого усиления на рис. 2.8, и отклик на единичный импульс стремится к дельта-функции. Следовательно, широкие полосы частот соответствуют узким функциям отклика на единичный импульс, и наоборот, узкие полосы частот соответствуют широким функциям отклика на единичный импульс.
Устойчивость. Системы, приведенные в табл. 2.6, могут быть представлены дифференциальным уравнением следующего общего вида:
dmy (t) і , ayjt)
¦auy(t):
= ^^?^1+ ••• +*.^?=^- +M (<-*). (2.3.18)
Подставляя в (2.3.18) х(і) = е^1, y(t) = Я(/)е^(, получим, что частотная характеристика равна
тг , f, Ъп (у2ті/)" +¦¦.+*! (?nf) + Ь0 -/2*/т /9 о і Q4
H{f)-aa(J2nfr+ ...+U1 U^f) + U06 * (2-ЗЛ9)
Подставив в (2.3.19) p = j2nf и приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение системы, а именно
ampm + ... + а,р + O0 = 0. (2.3.20)
Можно показать [4], что условие устойчивости системы (2.3.11) эквивалентно условию, что все корни яі, л2, nm характеристического уравнения (2.3.20) имеют отрицательные действительные части.
2.3.4. Отклик на произвольный входной сигнал
Если известно, что отклик системы на входной сигнал x(t) = = ej2nft равен уу) = Н(ї)еі2"*', то можно найти отклик на произвольный входной сигнал. Сначала надо взять преобразование Фурье от этого входного сигнала:
OO
Х(/)= J x(t)є'™* dt.. (2.3.21)
64
Гл. 2. Анализ Фурье
Составляющая Фурье выходного сигнала на частоте / равна
OO г OO
F(/)=j е~пф\ J h(u)x(t-u)du dt =
—со l—00
CW OO
= J h(u)e'n%tadu J x(v)e-ft%fvdv, (2.3.22)
— CXS —OO
ГДЄ V = t— U1 Т. Є.
К (/) = Я (/) (/). (2.3.23)
Уравнение (2.3.23) показывает, что составляющая выходного сигнала на частоте f получается из составляющей входного сигнала на той же частоте с помощью умножения на H(f) — значение частотной характеристики на этой же частоте. Наконец, чтобы возвратиться к y(t), нужно синтезировать, или просуммировать, составляющие от всех частот при одном и том же значении /, что дает
