Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
«6
Г л. 3. Теория вероятностей
нормальной плотностью. Как и в дискретном случае, вопрос о применимости конкретной плотности вероятности может быть реше» только после тщательного анализа данных и относящейся к сути явления информации.
3.1.3. Оценка плотностей вероятности
Один из способов оценки плотности вероятности состоит в построении гистограммы. Она показывает долю р{п) наблюдений,
0,6
0,5 -
0.4
є
'§ 0,3
3z Oj
а-Q
с*} о;
4 0,2
0,1-
- S=I1O мка
---S"= 0,4 мка
___I
Г-
___I
L__
I____I
I___I
-г—т-
L-.
I___I
_1_
0 12 3 4 5
Ток коллектора,мка *
Рис. 3.6. Гистограммы для данных о коллекторном токе.
лежащих в интервале от (^n--) б до (п + ~~^~) °". Так как
Рг1(я-4-)8<^<(я + 4-)8Н8А(л8)> п==0' ±1' ±2'
3.1. Частотные распределения и распределения вероятностей
87
то выборочной оценкой плотности вероятности является функция fx(nb) = -PJf-, л==0, ±1, ....
состоящая из прямоугольников ширины б. Рис. 3.6 показывает гистограмму данных о токе, приведенных на рис. 3.3, для двух значений ширины интервала б, а именно 0,4 мка и 1,0 мка. Выборочная оценка, использующая широкий интервал, является сравнительно плавной и скрывает большую часть тонкой структуры данных. Наоборот, узкий интервал дает более детальную картину, но выборочная оценка в этом случае более изменчива, так как в каждый интервал попадает меньшее число наблюдений. Таким образом, нужно принимать компромиссное решение, учитывая противодействующие требования подробной детализации и большой изменчивости. В гл. 6 будет показано, что аналогичные рассуждения применимы и при оценке спектров.
3.1.4. Двумерные распределения
Иногда для описания практической ситуации необходимо использовать несколько случайных величин. Примером может служить сравнение отсчетов акселерометра, производимых пилотом, с более точными измерениями, получаемыми автоматическим регистратором.
Данные этого эксперимента показаны на рис. 3.7, где на график нанесены одновременные отсчеты пилота (xi) и регистратора (х2). Рис. 3.7. называется диаграммой разброса; она может быть использована для построения двумерной гистограммы с помощью подсчета числа точек в прямоугольниках на плоскости (xi, Xz).
Данные, приведенные на рис. 3.7, можно описать с помощью двух случайных величин Xi и X2, где Xi относится к отсчетам пилота, a X2 — регистратора. Выборочное пространство для этого примера представляет собой область XiT^O, х2^0, но в общем случае оно может быть и целой плоскостью (xi, X2). С этим общим выборочным пространством можно связать двумерную функцию распределения
F12[X1, х2)= Pr{ X, X2^x2]. (3.1.10)
Как и в одномерном случае, если функция распределения является достаточно гладкой, ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная плотность вероятности
fa (¦*.. X2) = д^дх2 F12(X1, х2). (3.1.11),
«8
Г л. 3. Теория вероятностей
Следовательно, функцию распределения можно выразить через плотность вероятности с помощью
X, X2
Fn(X1, X2) = j \ fX2(tx, t2)dtxdt2. (3.1.12)
-OO —OO
Плотность вероятности (3.1.11) можно оценить по двумерной гистограмме точно так же, как была оценена плотность вероятности fx(x) по одномерной гистограмме.
5,0
4.0
3,0
2,0
» • • ••
ио
2,0
3fi
4,0
5,0
Рис. 3.7. Диаграмма разброса для измерений ускорения (в единицах g).
Для дискретных случайных величин совместная плотность вероятности записывается рХ2{хи X2) и представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значение хх, a X2-значение X2-
Условные распределения и независимость. Рассмотрим для двух дискретных случайных величин функцию, определяемую как долю случаев, в которых Xx принимает значение хх, при условии, что X2 зафиксировано на некотором значении х2. Эта функция называется условным распределением вероятностей Xx при заданном X2 и обозначается рц2(хх, х2). Аналогично рх\2{хх, х2) обозначает условное распределение вероятностей X2 при заданном Xi. Сов-
3.1. Частотные распределения и распределения вероятностей
89
местное распределение вероятностей Xt и X2 можно при этом записать в виде
Ра(хи Xz) = P1(X1)P2n(X1, x2) = p2(x2)plt2(xu X2), (3.1.13)
где, например, pi(xi) — безусловное (маргинальное) распределение Х\. Безусловное распределение вероятностей pi(xi) можно получить из совместного распределения вероятностей с помощью
со
Pi (Xi) = 2 Pu '
X2 =0
Оно дает долю случаев, в которых Xi равно Xi вне зависимости от того, каково значение X2.
Если вероятность того, что случайная величина Xi принимает значение JCi не зависит от того, что случайная величина X2 принимает значение JC2, то условное распределение вероятностей Рі|2(а"ь
ЛГ2) = P1 (Af1) И уСЛОВНОе распределение ВерОЯТНОСТеЙ p2li(A"j, X2) =
= р2(х2). В этом случае говорят, что случайные величины Xi и X2 независимы, а выражение (3.1.13) для совместного распределения вероятностей разлагается на множители в виде
Pn(X1, X2) = Pi(X1)р2(х2). (3.1.14)
Аналогично для непрерывных случайных величин совместная плотность вероятности разлагается на множители вида
