Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Z12(X1, X2) = Z1(X1)Z211(Xi, X2) = Z2(X2)Zi12(Xi, X2) (3.1.15)
в случае, если случайные величины зависимы, и на множители вида
Z12(X1, X2) = Zi(Xi)Z2(X2), (3.1.16)
если случайные величины независимы.
Двумерная нормальная плотность вероятности. Так же как
нормальная плотность вероятности играет главную роль при описании одиночных случайных величин, двумерная нормальная плотность вероятности
/,!<Х" *s) = 2»,..(1-Py- "Р{ 2(1 -,у [PV") +
+(^)'-*-^)^!
- оо л-2<оо, (3.1.17)
играет столь же важную роль среди двумерных плотностей вероятности. Двумерная нормальная плотность вероятности зависит от
'90
Г л. 3. Теория вероятностей
пяти параметров: (X1, ц2, оч, 02 и pi2. Если рі2 = 0, то (3.1.17) распадается на произведение двух нормальных плотностей вероятности; это говорит о том, что в случае pt2 = 0 случайные величины Xi и X2 независимы. Параметр рп называется коэффициентом корреляции; он измеряет степень линейной зависимости между двумя случайными величинами.
3.1.5. Многомерные распределения
Когда измеряются одновременно п количеств, ситуацию можно описать с помощью п случайных величин с заданной n-мерной совместной функцией распределения
^*\2 ... п ("^l' **2> • • •> хп)
и плотностью вероятности
f 12 . . . п (•*•! ' Х1.....-*¦")•
Если случайные величины взаимно независимы, то совместная плотность вероятности распадается на множители
Z,2...„(*!' X2, . . ., *„) = /, (JCi)Z2(JC2) • • • Zb(JC»). (3.1.18)
Важным частным случаем многомерной плотности вероятности является многомерная нормальная плотность вероятности, которую можно записать сжато, используя матричные обозначения, в виде
Zx (X) =
(2")
я/2 і
ехр
-2-(X-Ji)'V 1 (х- щ) , (3.1.19)
где х' = (xi, х2; ..., Xn), цд/ = (p-i, fx2, ..., и-п)—векторы-строки и V-1 —матрица, обратная матрице ковариации V, где
V =
2 Ol
O1C2Pl2
°і3зРіз
°1а2Рі2
2 O2
а2°зРгз
a2anP2«
стіазРіз
а2азР23 2
аз
аЗалРзп
а2апр2п аЗалРзл
(3.1.20)
Многомерная нормальная плотность вероятности зависит от л(п-г-3)/2 параметров, из которых п являются средними значениями (t = l, 2, ..., п); п — дисперсиями а2. (/=1, 2, п) и п(п— 1)/2 — корреляциями P)3- (і = 1, 2, ..., п, J = і+ 1, ..., п).
Если случайные величины независимы, то корреляции рг; = 0, и матрица V является диагональной, а совместная плотность ве-
3.2. Моменты случайных величин
91
роятности распадается согласно (3.1.18) на произведение п одномерных нормальных распределений.
Чтобы описать эмпирические данные с помощью многомерной нормальной плотности вероятности, необходимо оценить упомянутые выше п(п + 3)/2 параметров. Этот вопрос обсуждается в гл. 4.
3.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
3.2.1. Моменты одномерных случайных величин
Если дано распределение вероятностей рх(х) дискретной случайной величины или плотность вероятности fx(x) непрерывной случайной величины, можно вычислить вероятность того, что случайная величина находится между двумя значениями х\ и хг- Иногда невозможно найти распределение вероятностей или плотность вероятности точно, и в таких случаях возникает необходимость охарактеризовать распределение с помощью нескольких чисел. Самыми простыми из них являются среднее значение и дисперсия.
Среднее значение. Иногда полезно знать, какое значение случайная величина X принимает в среднем. В примере с контролем качества из разд. 3.1.1 это значение представляет собой среднее число дефектных изделий в выборке, которое можно было бы ожидать. Среднее число дефектных изделий, которое действительно наблюдалось в N выборках, равно
к к
* = IT S ХПх = S х (?") <3-2-1 >
Jr=O JC=O
и называется выборочным средним частотного распределения. Для
данных, приведенных на рис. 3.1, * = 7,1, и эта величина показана в виде жирной горизонтальной линии, вокруг которой группируются значения х.
Так как отношения nx/N являются оценками для вероятностей Px(х), среднее значение распределения вероятностей равно
k
\ь=^хрх(х). (3.2.2)
Вел-ичина и. обозначается обычно E[X] и называется математическим ожиданием случайной величины X. Оно дает среднее, или ожидаемое, значение, которое будет принимать X в будущих экспериментах. Аналогично для непрерывной случайной величины
OO
E[X]=I xfx (X) dx. (3.2.3)
92
Г л. 3. Теория вероятностей
Равенство (3.2.3) совпадает с выражением для центра тяжести неоднородного стержня с приходящейся на единицу длины удельной массой fx(x), расположенной на расстоянии х от его конца. Аналогичным образом E[X] является центром тяжести плотности вероятности случайной величины X, и, следовательно, оно служит для характеристики расположения распределения.
Дисперсия. Найдя расположение распределения, естественно перейти к описанию следующего наглядного свойства — степени разброса распределения. Одной из мер этого разброса является дисперсия
OO
a2 = J (х- |х)2/х(л)dx = E [(X- р?\, (3.2.4)
— OO
которая характеризует рассеяние вокруг его среднего значения и,. Если fx(x) все более и более концентрируется около ц, то о2 будет уменьшаться. Обратно, если имеются значения х, удаленные от среднего, для которых fх{х) не слишком мало, то а2 будет большой. Возведение в квадрат и раскрытие скобок в (3.2.4) дает другую эквивалентную формулу для дисперсии
