Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
А _pft sln2*/0(fe+l)
я* к sin2*/0 ' (2.d.44)
где
X1 = /?^,
Система устойчива при условии |лі| <1, \пг \ <1, т. е. при условии, что осі и аг лежат внутри треугольной области:
a,-a2>-l. (2.3.45)
-1 <«2<1.
3»
68
Гл. 2. Анализ Фурье
2.4. ПРИМЕНЕНИЯ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
2.4.1. Записи конечной длины
На практике можно получать только записи конечной длины. Статистические вопросы, которые будут обсуждаться ниже, возникают из-за необходимости оценивать точность различных функций, получаемых из конечного объема данных. Даже, если s (t) является детерминированной функцией, возникает смещение, или ошибка усечения, если s(t) известна лишь на конечном интервале —772=? Чтобы понять влияние этого усечения, рассмотрим временное окно, определяемое с помощью соотношений
і. m<T->
(2.4.1)
о, \t\>\.
w(t) =
Если s(t) является детерминированным сигналом в интервале —оо^^^оо, то сигнал, действительно измеренный на конечном интервале, можно записать в виде
sT(t) = s{t)w{t). (2.4.2)
Таким образом, операция взятия конечного участка записи равносильна умножению подлинного сигнала s(t) на временное окно w(t). Отсюда, используя (П2.1.8), получаем, что преобразование Фурье ST(f) сигнала sT(t) на конечном интервале является сверткой преобразований Фурье от s(t) и w(t):
со
Sr (Z) = J S (g) W(f-g) dg, (2.4.3)
-OO
где спектральное окно W(f) является преобразованием Фурье от временного окна w(t) и равно в этом случае
W(/) = T sil// ¦ (2.4.4)
Совсем необязательно, чтобы временное окно имело в точности форму (2.4.1). Любое разумно выбранное окно w(t) даст спектральное окно W(f), сосредоточенное около нулевой частоты / = 0, но с боковыми лепестками, или малыми всплесками, которые затухают при удалении f от нуля. Для небольших T преобразование ST(f) может дать очень искаженное изображение S(f), так как окно W(f—g) будет широким, а, следовательно, значения ,5(^), отстоящие далеко от g = f, будут давать вклад в ST(f) согласно формуле (2.4.3). По мере того как T увеличивается, эти искажения будут уменьшаться. Наконец, когда T устремляется к бесконечности, со-
2.4. Применения в анализе временных рядов
69
ставляющая преобразования Фурье на частоте / может быть определена полностью, так как временное окно будет стремиться к константе ( = 1). Следовательно, если Г->оо, то W(f—g) стремится к дельта-функции, сосредоточенной в точке g = f, так что ST(f) стремится к S(f).
ВлоЭной сигнал , амплитудный спектр (единичная 9-функция)
временные окна
S1Yf)
Mt)
а
Выходной сигнал, амплитудный спектр
-Г/2 О Г/2 t
Рис. 2.10. Влияние формы и длительности временного окна на спектр сигнала.
Влияние формы и ширины окна на измеряемое преобразование Фурье проиллюстрировано на рис. 2.10 для одного частного входного сигнала s(t), преобразование Фурье которого состоит из трех дельта-функций, сосредоточенных в /о, /і и /г. Отметим следующее.
1. Только два главных пика появляются в выходном преобразовании для окон а, б, и г, так как два входных пика на частотах /і и fz сливаются в один. Это происходит из-за использования слишком узкого временного окна.
70
Гл. 2. Анализ Фурье
2. Выходные преобразования для окон а и б имеют несколько ложных пиков между настоящими главными пиками. Эти ложньїе пики вызваны резкими углами временного окна.
3. Возможность различать пики (разрешающая способность) зависит от ширины временного окна, что иллюстрируется выходными преобразованиями для окон а и б, которые имеют одну и ту же форму, но разную ширину.
4. Возможность различать пики зависит также от формы временного окна, что иллюстрируется выходными преобразованиями для окон б, в и г, которые имеют одинаковую ширину, но различную форму. В гл. 6 и 7 будет показано, что ширина и форма окна приводят к тем же эффектам в спектральном анализе.
На рис. 2.10 расстояние между частотами (/г—fi) было выбрано равным \/Т. Рисунок показывает, что с помощью прямоугольного временного окна длины T невозможно различить два пика на частотах fi и f2. Однако, с помощью прямоугольного окна длины 2Г эти пики легко различаются. Следовательно, для разделения двух пиков на частотах /ч и /г необходимо использовать запись длины T порядка
T> -J-L7- (2.4.5)
для прямоугольного временного окна. Рис. 2.10, виг показывают, что для окон, не являющихся прямоугольными, их ширина должна быть больше 2/(f2—fi), чтобы можно было различать пики. Дальнейшее обсуждение вопроса о длине записи, необходимой для различения пиков, приводится в разд. 6.4.4.
2.4.2. Дискретизация сигнала по времени и явление наложения частот
Импульсная модуляция. Для численного анализа отсчеты большинства непрерывных сигналов s(t) будут производиться через некоторый фиксированный интервал А, и полученные таким образом дискретизованные сигналы будут затем использоваться для цифровых вычислений. Дискретизованный сигнал можно рассматривать как результат умножения первоначального непрерывного сигнала на сигнал i(t), состоящий из бесконечного ряда единичных импульсов, или дельта-функций:
