Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
dt
-^„(0 = 4^ <ГЛ,"=8„(0,
(2.2.9)
что иллюстрирует важный результат: производная функции скачка есть дельта-функция.
Преобразованием Фурье функции единичного скачка (2.2.7) является
^(/)=-3(/) + -^7-.
2.2.3. Ряды Фурье как преобразования Фурье
Рассмотрим преобразование Фурье следующего сигнала:
S7(O =
2nt a cos -д—,
О,
2 5?*?? 2 '
\t\>-
(2.2.10)
который является «периодическим» сигналом в интервале (—7/2, + T12). Непосредственно используя (2.1.24), получаем, что его преобразование Фурье равно
T SiaizT t^-O/a)) _U T sin%T [/ + (1/A)] *T [/— (1/a)j ' лТ
SAf)-
iT [/ + (1/Д)]
(2.2.11)
*) Unit step function. В операционном исчислении применяется также название «единичная функция (Хевисайда)». — Прим. перев.
2.2. Преобразования Фурье и их свойства
51
Когда T стремится к бесконечности, сигнал sT(t) становится действительно периодическим сигналом s(t) (периодическим для всех моментов времени), в то время как преобразование ST(f) стремится к
5(/)=-f {8(/-4-) + 8(/ + 4-)}. (2-2.12)
поскольку каждый из членов внутри фигурных скобок в (2.2.11) является последовательностью, сходящейся к дельта-функции. Поэтому преобразование Фурье действительно периодической косину-соидальной волны (бесконечного протяжения) состоит из дельта-функции амплитуды а/2, сосредоточенной в /=+(1/А), и дельта-функции амплитуды а/2, сосредоточенной в f = —(1/А). Аналогично комплексный сигнал
Sr(o=ey(fcm'/4). -4<'<4->
имеет преобразование Фурье
9 I f\ T slnrcr [/—(m/A)] ^tU) — ' тсГ і/—(m/A)] '
Поэтому, когда Г-^оо, ST(f) стремится к 5 (/) = б [/ — (т/А)]. Отсюда следует, что периодический сигнал с периодом Д, представляемый рядом Фурье
OO
s(0 = 2 SjV*™"1*. (2.2.13)
т = — оо
имеет преобразование Фурье
S (Л= 2 5»81/-"?-)' (2.2.14)
т = — оо
которое представляет собой ряд, состоящий из дельта-функций. Таким образом, допуская обобщенные функции, ряды Фурье можно рассматривать как частный случай преобразований Фурье.
Для того чтобы найти коэффициенты Фурье Sm, соответствующие некоторой обобщенной функции, уже нельзя применять классическую формулу (2.1.18), так как обобщенная функция может оказаться неинтегрируемой в конечных пределах. Соответствующая формула, которую нужно использовать в таких случаях, приводится
В частности, можно показать, что преобразованием Фурье ряда, состоящего из дельта-функций
OO
S(O= 2 8('-"А)> (2.2.15)
52
Гл. 2. Анализ Фурье
является
со
S(Z)=T- 2 8(/-Т-)- (2-2.16)
Л = — со
Таким образом, ряд из дельта-функций переходит в ряд также из дельта-функций. Отметим, что этот результат симметричен по отношению к частотной и временной областям.
Ряд, состоящий из дельта-функций, не является единственной функцией, симметричной относительно преобразования Фурье. Более простая функция, обладающая этим свойством, дается примером 2 в табл. 2.5 при п = 1. Таким образом, s (t) = ехр (—л^2) преобразуется в S (f) = ехр (—я/2).
В этом месте читатель должен убедиться, что он хорошо знаком с различными операторными свойствами преобразований Фурье, которые резюмированы в приложении П2.1.
2.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И СВЕРТКИ
2.3.1. Линейные дифференциальные уравнения
Важность практического применения анализа Фурье и спектрального анализа определяется тем, что они упрощают анализ инвариантных во времени линейных систем, т. е. систем, поведение которых можно описать с помощью линейных интегро-дифференци-альных уравнений с постоянными коэффициентами. Можно показать вообще [3], что решение такого уравнения может быть записано в виде интеграла свертки
со
у(0= J h(u)x(t — u)du, (2.3.1)
—со
где у (t)— решение и x(t) — вынуждающая функция. В разд. 2.3.4 будет показано, что это решение упрощается, если перейти к преобразованиям Фурье. Преобразование решения дает
Y (f) — H W)X(J),
где Y(1J), H(J) и X(f) — преобразования Фурье от y(t), h(t) и x(t) соответственно. Таким образом, свертка во временной области преобразуется в произведение в частотной области.
Иллюстрация свертки. Чтобы проиллюстрировать интеграл свертки, рассмотрим простую линейную систему, состоящую из пружины и буфера, показанную схематически на рис. 2.6. Одно из назначений такого устройства состоит в том, чтобы двери не хлопали. Сила, приложенная к пружине, производит входное смещение x(t),
2.3. Линейные системы и свертки
53
которое вызывает выходное смещение y(t) буферного хомута. Дифференциальное уравнение, полученное приравниванием сил, имеет вид
K\x(t)-y(t)\=D^~,
где К — постоянная пружины, измеряемая в кг/ж, и D — постоянная скорости буфера, измеряемая в кг • м/сек. Перегруппировав члены
Рис. 2.6. Механическая система первого порядка.
этого уравнения, получим
T^- + y(t) = x(t), (2.3.2)
где T = DIK—постоянная времени этой системы (в секундах).
Уравнение (2.3.2) можно использовать для описания поведения многих других физических систем, например температуры у выпускного отверстия химического реактора, когда температура у впускного отверстия равна x(t). В этом случае уравнение (2.3.2) показывает, что скорость изменения температуры у выпускного отверстия прямо пропорциональна температурному градиенту в реакторе.
