Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 14

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 94 >> Следующая

четными функциями. В общем случае это не так. Например, предположим, что 5 (t) не является четной функцией
Тогда, используя (2.1.24), получим
t<0,
0<t< oo .
S(Z) 1
Это преобразование является комплексным, его можно записать в виде суммы действительной и мнимой частей:
"3I//— 1 + (2тг/)2 J 1 + (2ті/)2 •
Иначе его можно записать, используя (2.1.13), в виде амплитудной и фазовой функций
5 (/) = - 1 =- ехр (-/ arctg2ic/),
так что
/?(/)=__ 1 <p(/)=arctg(-2rc/).
Отметим, что все эти преобразования затухают, или «диссипируют», когда f стремится к бесконечности. Теперь мы рассмотрим случаи, когда преобразования не затухают.
2.2.2. Обобщенные функции
Рассмотрим два специальных случая прямоугольного импульса, приведенного во второй строке табл. 2.4.
Единичная высота. Если а = 1, то
S{f) = 2b^-. (2.2.1)
Если Ь стремится к бесконечности, то s(t) стремится к константе, равной 1 всюду. Поведение 5(f) при увеличении Ь проиллюстрировано на рис. 2.4, где можно видеть, что S(f) стремится стать острым пиком бесконечной высоты при f = 0 и ограничена во всех остальных точках. Такая функция понимается как дельта-функция Дирака, или импульсная функция. Поэтому преобразование Фурье от константы есть дельта-функция.
2.2. Преобразования Фурье и их свойства
47
Единичная площадь. Если 2ab = 1, то
^/)=^?^- (2-2.2)
Когда 6-й), S(f) всюду стремится к единице. Однако по мере того как b убывает, s(t) становится все более высокой, как показано на рис. 2.5. Отсюда следует, что s(t) стремится к дельта-функции, сосредоточенной в начале координат.
Эти два случая показывают, что преобразование Фурье от константы есть дельта-функция и, наоборот, преобразование Фурье от дельта-функции есть константа. Эту взаимность следовало ожидать из-за симметрии равенств преобразования (2.1.22) и (2.1.24).
Дельта-функции. Последовательность функций (2.2.1) при ft—>-оо, которая послужила нам для определения дельта-функции, не является единственной. Вообще дельта-функцию можно определить как последовательность функций 8п (t), таких, что
OO
j bn(t)dt=\ для каждого п, (2.2.3)
— OO
и в пределе, когда я->-оо,
(О, t=?
( ОО, C =
0.
(2.2.4)
Примеры таких последовательностей функций вместе с их преобразованиями Фурье приведены в табл. 2.5. Заметим, что Sn (f) стремится к константе (единице) для всех /, когда п->оо.
Одну из физических интерпретаций дельта-функции дает описание процессов преобразования энергии в некоторой системе. Используя пример из механики, предположим, что твердый брусок находится в покое на плоской поверхности. Если выстрелить в этот брусок очень маленькой пулей, летящей с большой скоростью, то при ударе пули произойдет обмен энергии. Предполагая, что столкновение происходит столь быстро, что брусок не успевает сдвинуться за это время, можно считать, что пуля передала бруску импульс энергии в виде изменения количества движения. Другую интерпретацию, взятую из теории электромагнетизма, дает единичный точечный заряд в начале координат.
Дельта-функцию можно использовать как операторный прием для выбирания значения сигнала в данный момент времени. Следующая выкладка поясняет это:
OO OO
Hm f bn{t-t0)s{t)dt = \ b{t-t0)s(t)dt = s(t0). (2.2.5)
Рис. 2.4. Прямоугольные импульсы единичной высоты и их преобразования Фурье.
'H
Рис. 2.5. Прямоугольные импульсы единичной площади и их преобразования Фурье.
2.2. Преобразования Фурье и их свойства
49
Таблица 2.5
Последовательности, определяющие дельта-функции

]ч 0/! sln2it«< 1, |/1<п 0, |/|>л
2) Y~n~ е-™1* Є—Ріп
3) \е-п^ Ф rfl+ (2я/)2
4) 1 " е-|2х//л|
кч п sin2 (тс/г/) І-^Тр". 1/|<л 0, 1/|>л
Рассматривая аналогичным способом предел последовательности m-x производных б„ (t) [I], можно определить m-ю производную дельта-функции, а именно 6^'(O- Ее можно использовать для выбирания /л-й производной некоторой функции в данной точке. Это приводит к обобщению (2.2.5), а именно
СО
J bm(t-t0)s(t)dt = (-l)msfm)(t0). (2.2.6)
—OO
Возвращаясь к интерпретации дельта-функции как единичного заряда в начале координат, можно сказать, что б'(г) соответствует математической идеализации единичного диполя. Это обусловлено тем, что первый момент o'(t) равен
OO
J ?'(t)dt = -\,
—OO
где мы воспользовались (2.2.6). Поэтому абсолютный момент б'(/) равен единице, что является стандартным определением единичного диполя.
50
Гл. 2. Анализ Фурье
Функция единичного скачка*'. С б(t) тесно связана функция единичного скачка. Физически она соответствует приложению единичной силы, которая затем остается постоянной, или переключению крана, которое меняет поток в трубе. Математически она является сигналом, задаваемым равенствами
( 0, t<0, */(/) = ¦ 4"' ' = 0, (2.2.7)
1, t>0.
Функцию U(t) можно рассматривать как предел последовательности функций Un {t) при п->- оо, например
1
1-4-*-',
t<0,
(2.2.8)
Когда п->- оо, то Un (t) -*¦ О для отрицательных t н к единице для положительных Дифференцирование Un(t) дает d
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed