Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 19

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 94 >> Следующая

OO OO
У (O = J У (/) en%ft d/ = J X (Z) H (Z) еп*п df. (2.3.24)
-OO —OO
Равенства (2.3.22) — (2.3.24) показывают, что свертка во временной области эквивалентна перемножению в частотной области. Следовательно, если между двумя переменными существует соотношение в виде дифференциального уравнения (2.3.18), то решение равно (2.3.24), где частотная характеристика дается выражением (2.3.19). Следовательно, преобразование Фурье дает очень полезный операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
Нахождение решения можно ускорить с помощью таблиц преобразований. Таблица преобразований обобщенных функций приведена в [1, 4*']; преобразования Фурье обычных функций имеются в [6, 5*].
Несколько линейных систем,соединенных последовательно. Рассмотрим k не влияющих друг на друга линейных систем, соединен-
i1(i) .—. xz{tj .—, xk(t)
y(t)
Рис. 2.9. Несколько линейных систем, соединенных последовательно.
ных последовательно, как показано на рис. 2.9. Повторное использование (2.3.23) дает
У (/) = Hk (Z) Hk_x (Z) . . . Hx (Z) X {f), (2.3.25)
откуда видно, что для последовательно соединенных линейных систем полная частотная характеристика равна произведению частотных характеристик отдельных систем. Используя (2.3.17), полу-
2.3. Линейные системы и свертки
65
чаем, что полный коэффициент усиления равен произведению отдельных коэффициентов усиления:
О (/) = O1 (/) G2 (/)... Ok (/), (2.3.26)
а полный сдвиг фазы равен сумме отдельных фазовых сдвигов:
<Р (/) = «Pi (/) + %(/)+••¦+?* (/)• (2.3.27)
Выходной сигнал этой системы можно теперь вычислить, суммируя, вклады от всех частот в виде
OO
у (O = J N1 (/) H2 (/) ... И k (/) X (/) en*st df. (2.3.28)
— OO
Заметим, что при этом интегрирование проводится только один раз, в то время как выкладки во временной области потребовали бы вычисления k интегралов свертки.
2.3.5. Линейные уравнения в конечных разностях
В предыдущих разделах было показано, что систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением, можно также описать с помощью функции отклика на единичный импульс h(u) или же частотной характеристики #(/), причем h(u) и H(f) образуют пару преобразований Фурье. Функции п(и) и #(/) легко получить из дифференциального уравнения, описывающего систему. В этом разделе показано, как можно использовать отклик на единичный импульс и частотную характеристику для описания системы, заданной с помощью линейного разностного уравнения.
Линейное разностное уравнение — это уравнение вида
У, = «іУ,-і+а2Уг-2+ ••• Л-а-шУг-т + ^г+ ¦¦¦ + РЛ-». (2.3.29) Его общее решение имеет вид
OO
А =0
Величины у г, у г-и ..., уі—т и xr, xr-it ..., х,-п могли бы быть значе-ниями непрерывных сигналов y(t) и x{t) в моменты времени t = rA, (г—1)Д, ..., (г—т)А, (г—п)А соответственно, т. е.
у(0 = «1у(^-Д) + а,у(^-2Д) + т- ... + ««У С+ ••• -я А). (2.3.31)
Преобразование Фурье от (2.3.31) можно записать в виде
3 Заказ Ns 1210
66
Гл. 2. Анализ Фурье
так что частотная характеристика системы H(f) равна, согласно (2.3.23),
Частотная характеристика #(/) и дискретная функция отклика на единичный импульс hh связаны соотношениями
OO
Я(/)= 2 hke-n%fk\ (2.3.33)
ft =о
и
1/(2 4)
Aft = A J H{f)ei2Kfk"df. (2.3.34)
-1/(2 д)
^-преобразования. С частотной характеристикой (2.3.32) лучше всего обращаться, если сделать замену вида z = ei2n*A, что приводит к выражению
—і — 00
H(г) = fe + P'l, + ••• +?"^ = У (2.3.35)
1 — a,z — ... — am2 а=0
Это выражение называется 2-преобразованием [7] функции отклика на единичный импульс hu.
С операционной точки зрения переменную z в (2.3.35) можно рассматривать как оператор сдвига, обладающий свойством
e-ftxr = xr_ft. (2.3.36)
Следовательно, разностное уравнение (2.3.39) можно записать в виде
(1 — (!,г"1 - а22-2 — ... — OLnZ-"1) уГ =
= (% + P1«-1 + . . . + P11Z-») xr, (2.3.37)
т. е.
У'- (1-а.г-1- ...-аяГ») хг-«(г)Х„
где Я(г) является передаточной функцией дискретной системы. Разложение H(z) по степеням Z-1 дает
ft =0
что является общим решением (2.3.30).
Устойчивость. Вынося множитель z~m за скобки в знаменателе (2.3.35), заменяя z на р и приравнивая этот знаменатель нулю, по-
2.3. Линейные системы и свертки
67
лучаем характеристическое уравнение дискретной системы
pm _ a)/,*-i _ ... - am = 0. (2.3.38)
Условие устойчивости, соответствующее (2.3.11), будет иметь вид
OO
2 I А* К K2- (2.3.39)
ft =0
Аналогично условие устойчивости, соответствующее (2.3.20), состоит в том, что корни пи ..., пт характеристического уравнения (2.3.38) должны лежать внутри единичного круга.
Пример. Рассмотрим разностное уравнение второго порядка:
у г = a,yr_, + a2yr_2 + xr. (2.3.40)
Оно имеет г-преобразование
(1 — а,г-1 — a2z~2)yr =хг и, следовательно, передаточную функцию
Характеристическое уравнение имеет вид
P2 — alP — «2 = 0'
а его корни равны
«1 — + 4a2 a, + {/" а\ + 4?
«і=--. 1^2 =-2-• (2.3.42)
Функция отклика на единичный импульс для этой системы имеет вид
К-K + 1 -^+1} (2.3.43)
для действительных корней, т. е. когда a2 ^—4а2. Когда корни комплексные, т. е. при а2 <—4а2,
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed