Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (2.3.2) можно записать в виде интеграла свертки, вводя интегрирующий множитель eilT. Таким образом, получим
/ OO
у (г)= J а: (в)—у-0^=J x{u)h(t - и) du, (2.3.3)
где
\е-и,т, и>0, .0, и<0.
Следовательно, выход y(t) можно записать в виде взвешенной суммы прошлых значений входа x(t), т. е. выходной сигнал является сверткой входного сигнала с весовой функцией h(u).
Вообще можно показать [3], что решение любого линейного инвариантного во времени дифференциального уравнения можно записать так же, как и в (2.3.3), или же, сделав замену переменной, в виде
OO
у(/)= j h (и) X (t - и) du. (2.3.4)
54
Г л. 2. Анализ Фурье
Весовая функция полностью характеризует поведение системы, точно так же, как это делает дифференциальное уравнение.'
Инвариантные во времени линейные системы. Уравнения (2.3.3) и (2.3.4) изображают в общем виде то, что известно под именем инвариантных во времени линейных систем, или фильтров. Они характеризуются следующими свойствами.
а) Свойство линейности: если Xi(t) и Хг(г) — два входных сигнала, a yi(t), y2{t) — соответствующие им выходные сигналы, то линейная комбинация \xiXi(t) + ii2Xo(t) входных сигналов дает на выходе ту же самую линейную комбинацию выходных сигналов
p,it/i (0 + Р-2«/2(0-
б) Свойство неизменности во времени: если входной сигнал x(t) задержать на время т, так что получится x(t — т), то выходной сигнал задержится на то же самое время и будет равен y(t — т).
Именно свойство (б) обеспечивает то, что весовая функция h(u) не зависит от времени. Линейная система без свойства инвариантности во времени имела бы весовую функцию, зависящую от времени t. Можно показать, что системы, которые могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют инвариантное во времени представление (2.3.3). Впрочем, многие нелинейные системы м'ожно линеаризовать так, что для малых возмущений на входе можно использовать (2.3.3) как приближенное изображение системы.
2.3.2. Функции скачка и импульсные функции
Для любой физической системы весовая функция 1г(и) должна быть равна нулю для отрицательных значений и; это означает, что система не может давать отклик на входные сигналы, которые она еще не приняла. Это условие называется условием физической реализуемости. Для физически реализуемых систем уравнения (2.3.3) и (2.3.4) можно записать в виде
со
У (0 = j h(u)x(t - и) du, (2.3.5)
о
или же
1
у(0= j x(u)h(t — и)du. (2.3.6)
—оо
Функции отклика на единичный импульс *>. Предположим, что на систему воздействует резкий импульс в момент времени t = 0,
*) В нашей литературе используются также следующие названия: весовая функция, импульсная передаточная функция, импульсная переходная функция, функция импульсной реакции, импульсная характеристика.— Прим. перев.
2.3. Линейные системы и свертки
55
так что x(t) = 6(t). Тогда
OO
у (O = j h (и) b(t — a) du, (2.3.7}
—оо
и, используя (2.2.5), получаем, что последний интеграл равен h(t).. Весовая функция h(t) называется функцией отклика этой системы на единичный импульс [4], так как она дает выходной сигнал в момент t для системы, подверженной действию импульса при t = 0.
Отклики на единичный импульс для некоторых простых систем приведены в первом столбце табл. 2.6. На рис. 2.7 приведены отклики на единичный импульс для трех из этих систем. В первом примере (а) система представляет собой простую задержку, для которой выходной сигнал, или отклик на единичный импульс, является таким же импульсом, задержанным на время т. Во втором примере (б) система описывается одной постоянной времени и изображается дифференциальным уравнением (2.3.2); для этой системы отклик на единичный импульс является экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 2.7, б. Третий пример (в) представляет собой систему второго порядка, изображаемую дифференциальным уравнением
^-S-+ -S-S-+»-* м- <2-3-8»
и
Для этой системы откликом на единичный импульс является затухающая синусоида, показанная на рис. 2.7, в.
Функции отклика на единичный скачок *>. Линейную систему можно также охарактеризовать с помощью ее отклика на функцию-единичного скачка (2.2.7). Предположим, например, что входным сигналом является скорость притока холодной воды в теплообменник, а выходной сигнал — температура воды у выпускного отверстия. Тогда откликом на единичный скачок будут изменения температуры со временем у выпускного отверстия, после того как сделано единичное изменение входной скорости потока. Из (2.3.5) получаем, что отклик в момент времени t на единичный скачок при г = О равен
t
y(t) = $h(u)du, (2.3.9)
о
так что отклик на единичный скачок равен интегралу от отклика на единичный импульс.
Из рис. 2.7 можно видеть, что отклик на единичный скачок для системы, являющейся чистой задержкой т, есть также единичный
*> Иногда называется также «переходная реакция на скачок».— Прим. перев^
Функции отклика на единичный импульс, на единичный скачок и частотные характеристики для некоторых простых систем
Система Импульсный отклик h (0 Отклик на скачок у (t)
