Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
генератора S определяется формулой
оо
Р ^
/ {у, х,г)= Dsf (*1- 1> "), (2.8.2)
т\
т= О
где по определению
D°sf = /,
=</,*)=2'
fc=i \*>ft *>"
?>?/= DH^s'V) (те = 1, 2, ...).
Очевидно, все функции, включая и /, S, должны быть по крайней мере
бесконечно дифференцируемыми, а приведенные выше ряды должны быть
сходящимися при достаточно малых в.
Теперь рассмотрим исходную систему дифференциальных
уравнений, определяемую гамильтонианом
Н = Н(у,х, в),
который для простоты положим аналитическим относительно' (2ге + 1)
аргумента при (y,x)^D и 0 sg в < во. Уравнения движения имеют вид
у = Нх, х = - Ну. (2.8.3)
Предположим, что степенной ряд
со
Н {у, X, в) = 2 (у, х) (2.8.4)
h=О
является таким, что система с гамильтонианомН0 (у, х) интегрируема в
смысле Лиувилля, т. е. система дифференциальных уравнений (к = 1,2,...,
п)
имеет явно(c) решение
Лй = Ль("1, • • •, "п. Pi + (r)i^ Рг, • • •, PJ,
Efe ((r)1, • • • I Pi + (r)1^1 РзJ • • • > Рп)>
(2.8.6)
где а, [} - постоянные интегрирования, а величина coi = a>i (<%i)' с
помощью специального, но довольно обычного выбора вида инте-
106
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
грала энергии зависит только от одной из координат вектора а, например от
а;. Требование неособенности якобиана
д (л*. I*) д (Р, а)
при достаточно малых т позволяет обратить выписанные выше соотношения и
записать их в виде
аг,= а*(ч, %). {к - 1, ..., п),
Pi + (r)iT = Pi (ч, !)• (2.8.7)
= 1) {к = 2,..., п).
Следуя определению Хори, мы будем называть уравнения
(2.8.5) дополнительной системой. Нетрудно понять (и это следует
запомнить), что, так как система с гамильтонианом Но предполагается
интегрируемой в смысле Лиувилля, то существует каноническое
преобразование (в частности, преобразование (2.8.6), если а, р -
переменные действие - угол), которое приводит Но к такому виду, что эта
функция зависит только от новых импульсов, а в данном сучае только от
Теперь рассмотрим задачу построения не зависящих от Н первых интегралов
движения для системы (2.8.3). Для этого рассмотрим полностью каноническое
преобразование (2.8.1) с генератором
ос
е?(ть!,е)= 2еЧ(11.1). (2.8.8)
k=i
Если Я(Ч, 1, е) - новый гамильтониан, и преобразование не зависит от
времени, то отсюда следует равенство
Н(у,х,г) = К(ц, |, в), (2.8.9)
где в левой части этого соотношения координаты и импульсы (у, х)
предполагаются функциями от г]) Е вида (2.8.1). В соответствии с (2.8.2)
такое преобразование получается непосредственным использованием
генератора S, если только он является уже известной функцией, т. е.
оо
к (Т|, 1, В) = 2 D*H (ТЬ Е)- (2-8Л°)
7П=0
Если стоящий справа степенной ряд относительно в является сходящимся, то
мы должны считать, что существует аналогичный
8. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ II ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
107
сходящийся ряд и для К, т. е.
ОО
К On, 1, е) = 2 &тКт (т], §).
(2.8.11)
Подставляя в правую часть уравнения (2.8.10) ряды (2.8.4),
(2.8.8) я приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
где Fj> являются функциями от Но, Ни • ••, Hp-i, Si, ..., SP~i и могут
быть определены или непосредственным образом, или ре-куррентно.
Определение функций Fp и тот или иной способ их определения, так же как и
их сравнительные достоинства и недостатки, детальное обсуждение которых
проводится при изучении того или иного метода, с точки зрения
рассматриваемого сейчас вопроса неважны. При р 1 дифференциальные
уравнения в частных производных (2.8.12) представляют собой уравнения
относительно Sp с типичными для методов усреднения характеристиками,
причем функции Кр также неизвестны. Это уравнение можно переписать при
фиксированном р в виде
Принцип усреднения в данном методе может быть сформулирован как условие
независимости функций КР от т. Если, как обычно, предположить, что
гамильтониан Н (у, х, г) является 2я-периодической функцией относительно
каждой из переменных у, и учесть, что система с гамильтонианом Н0
интегрируема в смысле Лиувилля, то переменные у* и х* будут условно-
периодическими (или периодическими) функциями т,- классический результат,
следующий из общей теории переменных действие - угол. Мы обобщим
введенное ранее понятие среднего условно-
го (П, 1) = но(ц, I),
Кр(ц, 1) = (Н0, SP) +FP , (р = 1, 2, ...),
(2.8.12)
П
' дН(, д$р дН0 dSp
д\ dh дк д\
или, используя дополнительную систему, в виде
108
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
периодической функции, определив 1) г
Кр = lim f К (а, рх + т, р2, ..., PJ dx = г-" о
= К'р (а, -, р2, .... Р") = Кр (г|, |). (2.8.15)
где последнее преобразование в (2.8.15) осуществлено с помощью (2.8.7).
Отсюда следует, что
dS
или
^ТР - -^р (ос. Pi 4" Рг, • ¦ • > Рл) Кр (а. -.
Р2...........................................
Sp - j" (Fp - Кр) dr - Sp (ос, px + T> Pa, • • • • Pn) - Sp * Ч- 1),
(2.8.16)
где опять для преобразования использовано соотношение (2.8.7). Из
определения Кр также ясно, что предел
lim S'p {a, Pj + т, 02, ..., рп)
Х->ос
конечен, и в силу упомянутого выше предположения функция Sp - условно-
