Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны,
SW ' , , ¦. . . , .
Уа = -Г- = 2/а ((r) ,У, е) = уа + 8fXa {х', у, 8). дха
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА
101
Сравнение двух последних соотношений дает
Ра = Уа - + 8 (Ца - Vat).
Но ,За ЯВЛЯЮТСЯ постоянными для системы (2.7.13) и могут быть записаны в
виде
Pft = Уи - (r)кУп+1 + 80fe (х',у, t, 8), (2.7.14)
а члены нулевого порядка в таких интегралах можно записать так:
рм = Уь - акУп+1 (fc = l, ...,га). (2.7.15)
Теперь условие Пуассона записывается в виде
я+1
\ дх ду ду дх )
а-3 ' а аа " а а/
Если Но = Н0 (ж), то приближение пулевого порядка должно определяться
уравнением
у дНо,д?о_ dF0 А дхк дУк ~ дУп+1 '
частным решением которого является функция
Z7 дНп 0
г о - У1 J/n+i = У\ <>>1У n^-i,
что совпадает с (2.7.15) при к = 1.
Возникает вопрос: имеют ли какое-нибудь значение полученные таким образом
формальные ряды, так как в рассматриваемом случае члены, линейные
относительно времени, уничтожить нельзя? Однако тот же вопрос возникает и
при использовании метода
О 1
Пуанкаре, при котором частоты сой = сой + 8(0* + • • • в действительности
на практике получаются только до некоторого приближения порядка р. Как
уже говорилось, этот факт отражается тем выводом, что даже если ряды
сходятся, в практических вычислениях они, тем не менее, могут быть
пригодны не для любых интервалов времени, а в лучшем случае лишь при t =
0(г~р).
Запишем условие существования интеграла F для (2.7.14) в виде
(ЛЯ> + f-o
102
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
и формально определим эти интегралы следующим образом. Мы положим
^o = 2/i -
Н = Н0(хг) -Ь Пг (у.х).
Рекуррентные соотношения для Fk будут иметь вид
dt
(Fk ¦ Но) "! я7~ - (^ft- li^l)
ИЛИ
При fc'= 1 имеем
а при /с = 2
0 , 3F, <9Я, , froj aHi
1 Sj/j 3t 9"! ' дхх дух '
"О dF-2 | dF2 _____ / тт р \
Ш1 + ~ЕГ - Fl>
и т. д. Можно найти решение для F\ в виде
р 1 Г дН1 , . 1 гдН
1 ~ со? J й 1 (со")2 дх, J dVl y'dyi
9соР Г flff > дар,
К)
где г|) - произвольная функция. С другой стороны, имеем дН, д .
тт тт
%ГУ1 = ^(ад_Я1'
так что, если //] является 2я-периоднческой функцией переменных i/i,...,
г/", то мы получаем
j (#i&) dVi - j #1^1 = - j*
Следовательно,
______1 a<°i Г 77 Л, I J дЛ
7. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СКОБОК ПУАССОНА
103
Единственным нежелательным членом, из-за которого могут возникнуть
секулярные относительно у\ члены, является первый член в правой части
уравнения. Более того, этот член в действительности имеет вид
dHUj" 1 9Н1 з
of 3*1 У1'
Функи::.:
п I о I (. ^to? \ i да>9 С
является периодической по уi ,..., уп и секулярной по t. Этого последнего
свойства функции избежать нельзя, п оно является нежелательным.
Предлагаемый здесь выход из создавшейся ситуации заключается в следующем.
Определим функцию F0 так:
F0 = y1 - (s>\t + %{у2, ...,уп,х).
Очевидно, эта функция является решением уравнения
(F0,tf0) + fi = 0.
Тогда уравнение для Fi принимает вид
и его решение совпадает с решении предыдущего уравнения; добавляется
только член
-0 f (Hi, Фо) dyi-
Часть этого интеграла, содержащая секулярные члены относительно у 1,
будет равна нулю тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
^ + (Ни, %) = 0.
Последнее уравнение подсказывает способ, согласно которому надо выбпрать
произвольную функцию я]з0. Решение этого уравне-
104
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ния в частных производных эквивалентно интегрированию характеристик
dy. дН. dx. дНл
-Р- = ~Г^ = (2.7.16)
ах дхах oyh v '
где т - произвольный параметр, к = 2, ..., п, а х\ надо считать
постоянным параметром. Если yh, хк найдены из этого уравнения в виде
функций величины т, то функция Ни затем выражается через т, а фо
получается в виде
С дП ,
После того как интегрирование закончено, функция гро опять записывается
через переменные г/г, • •., Уп, xi, Х2, .. •> хп. Добавление 'фо к
функции F0 приводит к изменению опорной частоты to?, что. другими
словами, и предполагается в методе Линдстедта.
Таким образом, мы установили тесную связь между процедурой определения
дополнительных интегралов и интегрированием гамильтоновой системы методом
Пуанкаре. Такая же связь, как мы увидим ниже, устанавливает
фундаментальное соотношение между методом, использующим ряды и
преобразования Ли, и методом, использующим дополнительную систему для
характеристик.
8. Методы теории возмущений, основанные на преобразованиях Ли
Этот параграф посвящен описанию (настолько короткому, насколько это
возможно) методов теории возмущений, введенных впервые Хори [54]. Как мы
уже видели в главе I, вполне естественно генератор S, введенный Хори,
считать зависящим от параметра в и, следовательно, определить
каноническое преобразование формулами
(2.8.1)
(7 = 1, ..., п),
m- 1 OS
m= 1 '
S т-ут- 1 vo
ml S
771 - 1
- П(tm)~1- m\ s dr).
где у3 - координаты, х, - импульсы, Tij, ^ - соответствующие новые
переменные, а 5 = 5(т], в). Образ любой функции
/ (у, х, в) в новом фазовом пространстве (tj, 1) с помощью
8. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ Ю5
