Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
такой способ наиболее близким к работе Кэмела [57] образом.
Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений первого порядка
х = f (х, е) (2.9.1)
и предположим, что / {х е) - вещественная аналитическая по каждой из п +
1 переменных х\, ..., хп, е вектор-функция в некоторой области Q{x<=DdRn,
|е|<е0}. Правая часть уравнения (2.9.1) может быть разложена при
достаточно малых' е в сходящийся степенной ряд
X
(2.9.2)
где
fe>0
/№) (Ж)
д_Н
d&h
е=о
Очевидно, функции /(ft) {х) в области D будут вещественными
аналитическими функциями. В конечном счете это требование аналитичности
может быть ослаблено, если на каждом шаге вычисления приближений
воспользоваться операцией сглаживания, однако для общего понимания метода
это не имеет значения. Мы не будем рассматривать неавтономных систем,
хотя и есть такие случаи, когда t не может рассматриваться в качестве
дополнительной ж-переменной. Таковы, например, случаи,
когда исследуется асимптотическое поведение, устойчивость или
периодические решения.
Если уравнения (2.9.1) или (2.9.2) нельзя проинтегрировать в общем виде,
то можно искать такое преобразование к новым п переменным %, скажем,
х = х(%,&), (2.9.3)
что дифференциальные уравнения относительно %
l = g( 1,е), (2.9.4)
получающиеся из (2.9.3) и (2.9.1), поддаются более простому изучению.
Ясно, что сформулированная так проблема слишком обща, чтобы определить,
какими свойствами должны обладать эти преобразования переменных. Один из
способов убедиться в
9. НЕГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ \у]
этом, разумеется, состоит в предположении о том, что при е = О общее
решение уравнения (2.9.1) известно, т. е. уравнение
y = f{y,0) = f"ty) (2.9.5)
интегрируемо. Затем можно заинтересоваться вопросом о существовании
преобразования (2.9.3), которое переводит уравнение
(2.9.1) в уравнение (2.9.5), точнее, в уравнение
1 = /(0)(1). (2.9.6)
Так как при е = 0 преобразование (2.9.3), очевидно, будет
тождественным, то мы приходим к задаче нахождения преобразования,
близкого к тождественному, т. е.
*=6+eft(5,e), (2.9.7)
а функция А(1, е) предполагается аналитической в некоторой
области по каждой из га + 1 переменных е, причем эта область содержит
точку е = 0. Очевидно, что при достаточно малых е вблизи е = 0
преобразование будет обратимым. Можно записать
(2.9.8)
k> 1 '
и преобразованная система дифференциальных уравнений в общем случае
будет иметь вид
i = "P(S, е) = 2 ж *h)(r)' (2-9-9)
к>6
где
<РДО(1)= а ь
Е=0
Теперь нашей задачей является получение по данному преобразованию (2.9.8)
функций- (1) в (2.9.9) из функций /(А) [х) в (2.9.2). Очевидно, это можно
сделать разными способами, однако, если необходимы члены большого порядка
и их систематическое исследование, то можно рекомендовать рекуррентный
алгоритм, аналогичный алгоритму § 7 главы I. Дифференцирование
соотношения (2.9.8) по времени t дает
Xi Fk QE .
х= 1+jUTT ~д%
к> 1 *
и, подставляя сюда (2.9.2) и (2.9.9), находим
118 ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Из соотношения (1.7.2) теперь мы видим, что
ОО
f(x( 1, е), е) = 2 -jj fn (I).
n-О
и в нашем распоряжении есть рекуррентные соотношения для определения
функций /п (1), например, уравнения (1.7.4) или
(1.7.15), или заключительные соотношения из § 7 главы I. Из
(2.9.10) теперь следует, что
fn (I) = Ф(п) (I) + 2 ЧР(П",") (S)- (2.9.11)
7П~1
д1
Если теперь рассмотреть (1.7.22), то получим
дЪ,
тп=1 s
или в обозначениях (1.7.9)
Еп (I) = - тп (1) - 21 Cn-iLmEn-m (I). (2.9.12)
7П=1
Преобразование, обратное к (2.9.8), запишем в виде
S = * + 2-|rx(fc)(*)' (2.9.13)
так что
X(n) (х) = Тп (X) - "s и, (2.9.14)
7П~ 1
где использованы введенные в (1.7.20) и (1.7.21) обозначения, т. е.
Xp,q (х) = 2 1 LmXp-mtq (х), .
(tm)=1 (2.9.15)
X0,q(x) = Xi9) (ж).
Наконец, находим
П Г
ф(п) (|) = fn) (|) + 2 (D - ^ ф("-я (I)J, (2.9.16)
что и является искомым рекуррентным соотношением. Очевидно, уравнение
(2.9.16) содержит коэффициенты Тп, определяю-
9. НЕГЛМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
119
щие отображение (2.9.8), т. е. коэффициенты X(7l+1) (ж) разложения
получаемого из (2.9.13), и коэффициенты разложения
так же, как и в (1.7.6), (1.7.7) и (1.7.8). На каждом шаге приближения
функции Тп (|) в зависимости от выдвинутых требований должны быть выбраны
соответствующим образом. Эти неизвестные функции Тп (|) можно выделить в
уравнении
(2.9.16) следующим образом:
где функции Gn (|) зависят от всех предыдущих приближений. Кэмел получил
для них такие формулы:
Полное описание этого метода было дано в работах Кэмела i[57] и Хенрарда
[51] и в работе Хори [55]. Кэмел показал, что подход, основанный на
преобразованиях Ли, содержит в себе как частные случаи важные методы
разложения по двум переменным и подбора асимптотических решений, развитые
в работе Кеворкяна [58]. Этот вопрос здесь не рассматривается, так как он
весьма подробно изложен в работе Коула (см. [18.5]). Может быть, стоило
бы отметить, что алгоритм Депри для преобразований Ли, которые
