Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
фазового пространства у = (у1, .. ., уп), х =-(хи .. ., хп). Хорошо
известно, что для того, чтобы независимая от II функция F была первым
интегралом, необходимо и достаточно выполнения соотношения
^ Я) + ^ = °-
(2.6.2)
В явном виде скобки Пуассона здесь записываются так:
п
') Существенные новые результаты о сходимости рядов нормализующих
преобразований получены в работах А. Д. Брюно [5* -12*] (прим. ред.).
6 НОРМАЛИЗАЦИЯ ЬИРКГОФА
85
Если интеграл F не зависит явно от времени, то упомянутое условие
принимает простой вид: (F, Н) = 0.
Теперь рассмотрим случай, при котором Я зависит от безразмерного
параметра е, |е| е [0, 1], и Я раскладывается в ряд Тейлора в окрестности
точки е = 0 при |е| <С ео:
Я (у, х, е) = Я0 (ж) + гН1(у, х) + е2Я2 (у, х) + ... (2.6.3)
Наконец, предположим, что F не зависит от времени явно и является
аналитической функцией (в вещественном смысле) параметра е при | е | <
ео- Тогда
F (у, х, е) = F0 (у, х) + еРг (у, х) + e2F3 (у, х) + .... (2.6.4)
и потребуем, чтобы фупкции Fk(y, х) при к 0, 1, 2, . . . были
дифференцируемыми в области D. Если F является интегралом для всех е при
| е | < ео, то должно быть выполнено равенство (F0, Но) =. 0 или в явном
виде
П
V = 0_ (2.6.5)
дух ох, ' '
к -1 ft
Ясно, что любая функция вида F0 (х) удовлетворяет уравнению
(2.6.5). Если функция F0(x,y) является решением уравнения
(2.6.5), то функция F0(x, у) -f Fq* (х) также будет его решением
незваиспмо от вида функции F0 (х). Мы будем исключать из рассмотрения
случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции CDfe = дН0/дх являются
зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел
для х е D.В действительности мы будем предполагать выполненными
бесконечное множество условий
1- п-1
(2.6.6)
2 0
> К (ю°)
2 I /й I fc=i
для всех одновременно не обращающихся в нуль целых чисел jh и некоторой
постоянной К. Резонансные случаи или случаи, близкие к резонансным, в
применении к задаче о дополнительных интегралах детально изучены в
работах Контопулоса [25, 26]. Для систем с числом степеней свободы п > 2
в литературе не встречается даже приближенного решения рассматриваемой
задачи, хотя его можно получить без особого труда. Выписанные выше
условия исключают частные решения (или "почти" решения) типа
П
Fo " 2 PkUk->
86
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
где ph - такие целые числа, что
п
2 IkPk ~ о.
Тогда мы имеем следующее утверждение.
Лемма 1. Функция Fо является произвольной функцией переменных #1, ..хп и
произвольной функцией линейной формы otj i/i + ... + а"уп, где
вещественные, не являющиеся все одновременно рациональными числа ah
таковы, что
ai(r)i + • • • + а,1<йп = 0.
Отметим, что так как решение системы уравнений, соответствующих функции
Гамильтона Но, и моет вид
= const, yh = wl(x)t -\-yl,
то любая функция от а\У\ + ... + а.пуп сводится к независимой постоянной.
По этой причине мы будем рассматривать только F0 = F0 (.х) в качестве
решения уравнения (2.6.5). В действительности это очевидно, так как
функция Fo должна быть интегралом системы уравнений, соответствующих
гамильтониану Н0, и, следовательно, функцией п интегралов этой системы
х\, ..., хп.
Лемма 2. Если F0 - F0(x) и функция Ft(y, х) является 2п-периодической
относительно У\, ..., уп с нулевым средним, то функция (Hi, Fi) также
будет 2я-периодической относительно у\, ..уп с нулевым средним при
условии, что Нг(у, х) - 2я-периодическая функция относительно у\, ...,
уп.
Действительно, условие (F, Н) =.0 приводит к такому набору условий при р
•- 1, 2, 3, ...:
сFp, Но) + (Fp-u Hi) + (Fp-2, tf2) +...+ (Fo, НР) = 0. (2.6.7) При р = 1
мы имеем
(Fи Но) ,+ (Fo, НО =.0,
у=1 у}
где
d / \ 8Fb
Правая часть уравнения (2.6.8) - 2я-периодическая по каждому yh и имеет
нулевое среднее. Аналогичное утверждение справедли-
(2.6.8)
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ БИРКГОФА
87
во и относительно функции F1(y, х), в которой можно пренебречь любой
произвольной функцией х; величины со°; удовлетворяют условию (2.6.6).
Пусть теперь 0 = piy\ + ... + рпуп - произвольный аргумент в ряде Фурье
функции Hi(y, х), где целые числа р 1, ..рп одновременно в нуль не
обращаются. В силу линейности уравнения (2.6.8) можно обойтись этим
единственным аргументом. Таким образом, отбросив произвольную функцию х,
для этого аргумента получаем
П
2 p)PJ
------(- A sin 0 + В cos0), (2.6.9)
2
i=1
где, согласно определению, #i = A cos 0 + В sin 0 + ... Сомножитель,
стоящий перед скобкой в правой части (2.6.9), является функцией х,
которую обозначим через С (ж), и, учитывая (2.6.6), находим, что он не
слишком велик (очевидно, надо, чтобы постоянная К (а0) в (2.6.6) была
0(1) по сравнению с е).
Отсюда следует равенство
(^i. #i)e = |2 Pi (~2~Л sin20 + Ав cos 20j,
которое н доказывает лемму, так как члены, не зависящие от 0, можно
считать периодическими функциями этого аргумента.
Рассмотрим уравнение (2.6.7) для р =,2. Функция Р2 определяется формулой
(^2) на) + (F1, Hi) + (F0, Н2) =.0
